Lời giải:

Bổ sung đk $m$ nguyên
Để pt có 2 nghiệm nguyên thì:

\(\Delta=m^2-4(m+2)=t^2\) với $t\in\mathbb{N}^*$

$\Leftrightarrow m^2-4m-8=t^2$

$\Leftrightarrow (m-2)^2-12=t^2$
$\Leftrightarrow 12=(m-2)^2-t^2=(m-2-t)(m-2+t)$

Vì $m-2-t, m-2+t$ có cùng tính chẵn lẻ nên $(m-2-t, m-2+t)=(2,6), (6,2), (-2,-6), (-6,-2)$

$\Rightarrow m=-2$ hoặc $m=6$

Thử lại thấy tm

Lời giải:

a. $\sqrt{x^2}-x+1=|x|-x+1=x-x+1=1$

b. $\sqrt{x^2}+2x=|x|+2x=-x+2x=x$

c. $\sqrt{(\frac{x}{y})^2}=|\frac{x}{y}|=\frac{x}{y}$ do $\frac{x}{y}\geq 0$ với $x\geq 0$ và $y>0$

d.

$\sqrt{(\frac{x}{y})^2}=|\frac{x}{y}|=\frac{-x}{y}$ do $\frac{x}{y}<0$ với $x>0; y<0$

Equation of the intersection of (P) and (d) is:

\(x^2=\left(m+1\right)x-m\) \(\Leftrightarrow x^2-\left(m+1\right)x+m=0\)  (1)\(a=1;b=-\left(m+1\right);c=m\)

We can see that \(a+b+c=1-\left(m+1\right)+m=0\) so the equation (1) has 2 roots: \(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=m\)

We have \(y_1=x_1^2=1^2=1\); \(y_2=x_2^2=m^2\)

Thus, \(y_1+y_2=1+m^2\)

Because \(m^2\ge0\Leftrightarrow m^2+1\ge1\) or \(y_1+y_2\ge1\). "=" happens when \(m=0\)

In conclusion, in order to minimize the value of \(y_1+y_2\), m must be equal to 0.

vậy em sẽ nhận được sự giải thích như sau em nhé:

khi ta đổi chỗ các hạng tử của một tổng thì tổng đó không đổi nên:

5\(\sqrt{23}\) +   5 - \(\sqrt{23}\)   =  5 + 5\(\sqrt{23}\)- \(\sqrt{23}\) 

                               = 5 + 5 x \(\sqrt{23}\) - 1 x \(\sqrt{23}\)

                               = 5 + ( 5 - 1) \(\sqrt{23}\)

                                 = 5 +   4\(\sqrt{23}\)

Nó sẽ là 5/23 + 5 - 1/23 = 5 + 4/23

Dấu / là dấu căn nhé vì đt không có dấu căn ấy 😅😅

\(P=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{5}{ab+bc+ca}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca}-\dfrac{5}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-5}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{4.3}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{12}{3^2}=\dfrac{4}{3}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(x^2+1=2x+\sqrt{3x-1}\) (không cần điệu kiện)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(3x-1\right)=-x+\sqrt{3x-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(\sqrt{3x-1}\right)^2=-\left(x-\sqrt{3x-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{3x-1}\right)\left(x+\sqrt{3x-1}\right)=-\left(x-\sqrt{3x-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{3x-1}\right)\left(x+1+\sqrt{3x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\sqrt{3x-1}=0\left(1\right)\\x+1+\sqrt{3x-1}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\sqrt{3x-1}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=3x-1\\x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-x-1=\sqrt{3x-1}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-x-1\right)^2=3x-1\\-x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-x+2=0\\x\le-1\end{matrix}\right.\)(vô nghiệm)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{c}=a+\sqrt{bc}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca},\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)

Cộng lại vế với vế ta được: 

\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\).

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\).

ta đi chứng minh \(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+2a\sqrt{bc}+bc\)

\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow ab+ac\ge2a\sqrt{bc}\) \(\Leftrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc}\)(điều này đúng theo cosi)\(\Rightarrow\left(1\right)đúng\)

\(chứng\) \(minh\) \(tương\) \(tự\Rightarrow\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\left(2\right);\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

đáp số : x =  \(\sqrt{ }\)3 - 1.

olm program chèn ký tự không phải của win hay của chorme original!

Sửa lại x = \(\)\(\sqrt{ }\)2 ( 3 - 1)

căn bậc 2 của \(\sqrt{ }\)2

căn bậc 2 của   \(\sqrt{ }\)3

Đk: x > = -1

Ta có:  \(2x\left(x-1\right)=3x\sqrt{x+1}+2\)

<=> \(2x^2-2x-2-3x\sqrt{x+1}=0\)

<=> \(2x^2-2\left(x+1\right)-3x\sqrt{x+1}=0\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a\left(a\ge0\right)\)

Khi đó: \(2x^2-3ax-2a^2=0\)

<=> \(2x^2-4ax+ax-2a^2=0\)

<=> \(\left(2x+a\right)\left(x-2a\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}a=-2x\left(1\right)\\x=2a\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (1) => \(\sqrt{x+1}=-2x\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\x+1=4x^2\end{matrix}\right.\)

<=> (tự tính)

Giải (2) => \(x=2\sqrt{x+1}\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2=4x+4\end{matrix}\right.\)

<=> (tự tính)