a: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BNMC có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)

nên BNMC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BNM}+\widehat{BCM}=180^0\)

mà \(\widehat{BNM}+\widehat{ANM}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\)

Thay y=-2 vào (d), ta được:

\(\dfrac{1}{2}x+2=-2\)

=>\(\dfrac{x}{2}=-4\)

=>x=-8

Thay x=-8 và y=-2 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot\left(-8\right)+b=-2\)

=>-8a+b=-2

=>8a-b=2(1)

Thay x=2 và y=-3 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot2+b=-3\)

=>2a+b=-3(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}8a-b=2\\2a+b=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10a=-1\\8a-b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{10}\\b=8a-2=-\dfrac{8}{10}-2=-\dfrac{28}{10}=-\dfrac{14}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d'): \(y=-\dfrac{1}{10}x-\dfrac{14}{5}\)

Vì \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của pt \(x^2-x-1=0\) nên:

\(x_1^2-x_1-1=x_2^2-x_2-1=0\)

Đồng thời, theo định lý Vi-ét, ta có:

\(x_1+x_2=1;x_1x_2=-1\)

Do đó \(B=\left(x_1^4-x_1^2\right)+x_2^2-x_1\)

\(B=x_1^2\left(x_1^2-1\right)+x_2^2-x_1\)

\(B=\left(x_1+1\right)x_1+x_2^2-x_1\)

\(B=x_1^2+x_2^2\)

\(B=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(B=1^2-2\left(-1\right)\)

\(B=3\)

Lời giải:

a.

Vì $MC, MD$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MC\perp OC, MD\perp OD$

$\Rightarrow \widehat{MCO}=\widehat{MDO}=90^0$

Tứ giác $MCOD$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{MCO}+\widehat{MDO}=90^0+90^0=180^0$ nên $MCOD$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,C,O,D$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)

Mặt khác:

$K$ là trung điểm $AB$ nên $OK\perp AB$.

$\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0$

Tứ giác $MCKO$ có $\widehat{MCO}=\widehat{MKO}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $MO$ nên $MCKO$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,C,K,O$ cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ $(1); (2)\Rightarrow M,C,K,O,D$ cùng thuộc 1 đường tròn.

$\Rightarrow MCKD$ là tứ giác nội tiếp.

b.

Xét tam giác $MCA$ và $MBC$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MCA}=\widehat{MBC}$ (góc tạo bởi tt và dây cung bằng góc nt chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MCA\sim \triangle MBC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{MB}{MC}\Rightarrow MC^2=MA.MB(3)$

Mặt khác:

Xét tam giác $MCN$ và $MKC$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MCN}=\widehat{MCD}=\frac{1}{2}\text{sđc(CD)}=\frac{1}{2}\widehat{COD}=\widehat{COM}=\widehat{MKC}$ (do $MCKO$ là tgnt)

$\Rightarrow \triangle MCN\sim \triangle MKC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MC}{MK}=\frac{MN}{MC}$

$\Rightarrow MC^2=MK.MN(4)$

Từ $(3); (4)\Rightarrow MA.MB=MK.MN$

Hình vẽ:

1.

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=\frac{7}{2}$

$x_1x_2=\frac{-3}{2}$
Khi đó:

$B=x_1^2x_2+x_2^2x_1-3x_1x_2=x_1x_2(x_1+x_2)-3x_1x_2$

$=\frac{-3}{2}.\frac{7}{2}-3.\frac{-3}{2}=\frac{-3}{4}$

2.

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-3(2m-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow m^2-4m+4\geq 0$

$\Leftrightarrow (m-2)^2\geq 0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$
Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{3}$

$x_1x_2=\frac{2m-1}{3}$
Để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2<2$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2< 4\\ (x_1-2)(x_2-2)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2<4\\ x_1x_2-2(x_1+x_2)+4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2(m+1)}{3}<4\\ \frac{2m-1}{3}-2.\frac{2(m+1)}{3}+4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<5\\ m< \frac{7}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \frac{7}{2}\)

Vậy..........

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu đất lần lượt là $a$ và $b$ (m) 

Theo bài ra ta có:

$ab=96$

$(a-1)(b+2)=ab+14$

$\Leftrightarrow ab+2a-b-2=ab+14$

$\Leftrightarrow 2a-b=16$

$\Leftrightarrow b=2a-16$. Thay vào điều kiện $ab=96$ suy ra:

$a(2a-16)=96$

$\Leftrightarrow a(a-8)=48$
$\Leftrightarrow a^2-8a-48=0$

$\Leftrightarrow (a+4)(a-12)=0$

Do $a>0$ nên $a=12$

$b=96:12=8$ 

Vậy chiều dài và chiều rộng khu đất lần lượt là $12$ m và $8$ m

Gọi chiều rộng và chiều dài khu đất lần lượt là a(m),b(m)

(Điều kiện: a>0; b>0)

Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 1m thì diện tích tăng thêm 14m² nên ta có:

(a+2)(b-1)=ab+14

=>ab-a+2b-2=ab+14

=>-a+2b=16

=>a-2b=-16

=>a=2b-16

Diện tích là 96m² nên ab=96

=>\(b\left(2b-16\right)=96\)

=>\(b\left(b-8\right)=48\)

=>\(b^2-8b-48=0\)

=>(b-12)(b+4)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}b=12\left(nhận\right)\\b=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Chiều dài là 12m; Chiều rộng là 96:12=8(m)

Điểm D ở đâu vậy bạn?

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là các đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại F

Xét tứ giác HECF có \(\widehat{HEC}+\widehat{HFC}=90^0+90^0=180^0\)

nên HECF là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{HEF}=\widehat{HCF}\)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)

mà \(\widehat{HEF}=\widehat{HCF}\)

và \(\widehat{DAH}=\widehat{HCF}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{DEB}=\widehat{FEB}\)

=>EB là phân giác của góc DEF