Đây là sân bóng đá mini hình chữ nhật

gọi chiều dài là x m( x>0)

chiều rộng là x/2 m

theo đề ra ta có phương trình

2(x+x/2)=120

<=> x+x/2=60

<=> 3x=120

<=>x=40

vậy chiều dài sân bóng là 40

chiều rộng sânn bóng là 20

diện tích sân bóng là 40*20=800 m^2

H A B C D E O F

a) Xét tam giác AEC và tam giác ADB

có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o\)

\(\widehat{EAC}=\widehat{DAB}\)( đối đỉnh)

=> \(\Delta AEC~\Delta ADB\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AE.AB=AD.AC\)

b) Xét tam giác HCB có hai đường cao CD và BE cắt nhau tại A 

=> A là trực tâm tam giác ACB

=> HA vuông BC

=> AF vuông BC

Xét tứ giác BFEH có:

\(\widehat{BFH}=\widehat{HEB}=90^o\)

=> BFEH nội tiếp

c) Ta có: \(\widehat{EOC}=2\widehat{EBC}\)( góc ở tâm có độ lớn gấp 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Xét tứ giác ADBF có: \(\widehat{ADB}+\widehat{AFB}=90^o+90^o=180^o\)

=> ADBF nội tiếp 

=> \(\widehat{ABF}=\widehat{ADF}\)( cùng chắn cung AF) hay \(\widehat{EBC}=\widehat{CDF}\)

Mặt khác \(\widehat{EDC}=\widehat{EBC}\)( cùng chắn cung EC)

=> \(\widehat{EOC}=2.\widehat{EBC}=\widehat{CDF}+\widehat{EDC}=\widehat{EDF}\)

=> \(\widehat{FOE}+\widehat{FDE}=\widehat{FOE}+\widehat{EOC}=180^o\)( hai góc bù nhau)

=> Tứ giác DEOF nội tiếp

Cách này khá phức tạp dùng để tìm BĐT phụ

Để giải dễ hơn và không mất tính tổng quát thì giả sử a+b+c=3. Điểm rơi: a=b=c=1 và Min=3/4

Bất đẳng thức quy về dạng

\(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}+\frac{b}{\left(b-3\right)^2}+\frac{c}{\left(c-3\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)

Tìm m,n sao cho: \(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge am+n\)

Tương tự với \(\frac{b}{\left(b-3\right)^2}\)và \(\frac{c}{\left(c-3\right)^2}\)

Ta có: \(VT\ge\left(a+b+c\right)m+3n=3\left(m+n\right)\)

\(\Rightarrow3\left(m+n\right)=\frac{3}{4}\Rightarrow m+n=\frac{1}{4}\Rightarrow m=\frac{1}{4}-n\)

Thế ngược lên trên: 

\(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge\frac{1}{4}a-an+n\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{\left(a-3\right)^2}-\frac{1}{4}a\ge n\left(1-a\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(\frac{1}{\left(a-3\right)^2}-\frac{1}{4}\right)\ge n\left(1-a\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(\frac{-\left(a^2-6a+5\right)}{4\left(a-3\right)^2}\right)\ge n\left(1-a\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-a\right)\left(a-5\right)}{4\left(a-3\right)^2}\ge n\left(1-a\right)\)

\(\Rightarrow n=\frac{a\left(a-5\right)}{4\left(a-3\right)^2}=\frac{1}{4}\)khi a=1 (điểm rơi lấy xuống)

\(\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)

BĐT phụ cần CM: \(\frac{a}{\left(a-3\right)^2}\ge\frac{2a-1}{4}\)

Cho a,b,c>0. Cmr: a/(b+c)^2+b/(c+a)^2+c/(a+b)^2>=9/[4(a+b+c)]. Giup minh vs...!? | Yahoo Hỏi & Đáp

khó kinh khủng

Dễ thấy các hệ số tương đồng nhau nên có thể biến đổi bđt về dạng sau : 

\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\right)\ge5\)

Ta đi chứng minh bđt phụ sau : \(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2a}{3}\)(1)

\(Bđt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}-\frac{7}{3}+\frac{2a}{3}\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\frac{3+2a^4-7a^2+2a^3}{3a^2}\ge0\)

              \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^4-2a^2+1\right)+2a^3-3a^2+1}{3a^2}\ge0\)

           \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2-1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a^2-1\right)}{3a^2}\ge0\)

         \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{3a^2}\ge0\)

       \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+2a^2-a-1\right]}{3a^2}\ge0\)

     \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)\left(2a+1\right)\right]}{3a^2}\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left[2\left(a+1\right)^2+2a+1\right]}{3a^2}\ge0\)(Luôn đúng do a > 0 nên [...] > 0)

Dấu "=" <=> a = 1

Thiết lập các bđt còn lại \(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2b}{3}\)

                                      \(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2c}{3}\)

Cộng 3 vế của bdtd lại ta được

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge7-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=7-\frac{2.3}{3}=5\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Tìm điểm rơi a=b=c=1 Min=5

Rồi áp dụng UCT giải

b) 

+) Với m=0 , phương trình (1) trở thành -x+1=0 <=> x=1

+) Với m khác 0 , (1) là phương trình bậc nhất một ẩn

Xét \(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4.m\left(m+1\right)=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1>0\)

=> m khác 0 phương trình (1) có hai ngiệm phân biệt

Vậy pt (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c)  Với m =0 phương trình (1) có nghiệm bằng 1< 2 loại

Với m khác 0 

Gọi \(x_1,x_2\)là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1)

Khi đó áp dụng định lí Vi-et:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m+1}{m}\\x_1.x_2=m+1\end{cases}}\)

Bạn tự vẽ hình nha ^-^

a) Xét tứ giác PDKI có PDK=PIK=90

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác PDKI là tứ giác nội tiếp

b)ta thấy : AIQ=1/2 cung AQ

                 BIQ=1/2 cung QB

mà cung QA=cung QB(gt)

nên IQ là phân giác của AIB

c)

AOQ=45 độ nên sđ cung AQ =45 độ

mà cung AQ= cung QB =45 độ

vậy sđ cung AQB= sđ cung AQ+sđ cung QB=90

d)

Xét tam giác CKI và CPD có

PCD chung 

CIK =CDP=90

nên CKI đồng dạng với CPD

vậy \(\frac{CK}{CP}=\frac{CI}{CP}\Leftrightarrow CD\cdot CK=CI\cdot CP\)(CẶP CẠNH TƯƠNG ỨNG)

xét tam giác CAP và CIB có:

PAB chung 

APC=CBI(góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

nên CAP đồng dạng với CIB 

vậy\(\frac{CA}{CI}=\frac{CP}{CB}\Leftrightarrow CA\cdot CB=CI\cdot CP\)

\(\Rightarrow CA\cdot CB=CD\cdot CK\left(=CP\cdot CI\right)\)

 Gọi số cần tìm là ab thì theo mô tả teong đề ra, ta có : \(\hept{\begin{cases}\overline{ab}=\left(a+b\right).6\\a.b+25=\overline{ba}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}10.a+b=6a+6b\\a.b+25=10b+a\end{cases}\Leftrightarrow..}\)

\(\hept{\begin{cases}4a=5b\\\left(b-1\right)\left(10-a\right)=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5\\b=4\end{cases}.}}\) ĐÁP SỐ Số cần tìm là  : \(\overline{ab}=54\)

(Trong bài ra : Nếu cộng tích hai số đó với 25 thì được số NGHỊCH ĐẢO , Ta hiểu : Được số có hai chữ số VIẾT NGƯỢC LẠI số đã cho.Số đã cho là ab  thì viết ngược lại là ba )