\(\left(x^2+1\right)^2+3x\left(x^2+1\right)+2x^2=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2+x\left(x^2+1\right)+2x\left(x^2+1\right)+2x^2=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2+1+x\right)+2x\left(x^2+1+x\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1+x\right)\left(x^2+1+2x\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1+x\right)\left(x+1\right)^2=0\)

Mà \(\left(x^2+1+x\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Đặt \(x^2+1=y\)

Khi đó phương trình trở thành :

\(y^2+3xy+2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+xy+2xy+2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+y\right)+2x\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(2x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=0\\2x+y=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-x\\y=-2x\end{cases}}\)

+ ) Với \(y=-x\Leftrightarrow x^2+1=-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\left(loại\right)\)

+ ) Với \(y=-2x\Leftrightarrow x^2+1=-2x\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-1\) 

Vậy nghiệm của pt là : \(S=\left\{-1\right\}\)

Chúc bạn học tốt !!!

à....cái đó thì mình chưa tính ra được

\(D=a\left(b^2+c^2+bc\right)+b\left(a^2+c^2+ac\right)+c\left(a^2+b^2+ab\right)\)

\(D=ab^2+ac^2+abc+a^2b+bc^2+abc+a^2c+b^2c+abc\)

\(D=3abc+abc\left(b+c+a+c+a+b\right)\)

\(D=4abc\left(2a+2b+2c\right)\)

thùy trốc to

a) Ta có: A = x³ + y³ + 3xy = (x + y)(x² - xy + y²) + 3xy = 1. (x² - xy + y²) + 3xy = x² - xy + y² + 3xy = x² + 2xy + y² = (x + y)² = 1² = 1

b)Ta có: B = x³ - y³ - 3xy = (x - y)(x² + xy + y²) - 3xy = 1. (x² + xy + y²) - 3xy = x² + xy + y² - 3xy = x² - 2xy + y² = (x - y)² = 1² = 1

d) Ta có : D = x³ + y³ + 3xy(x² + y²) + 6x²y²(x + y)

=> D = (x + y)(x² - xy + y²) + 3xy(x² + 2xy + y²) -  6x²y² + 6x²y²

=> D = x² - xy + y² + 3xy(x + y)² 

=> D = x² - xy + y² + 3xy.1²

=> D = x² + 2xy + y²

=> D = (x + y)² = 1² = 1

a) \(A=x^3+y^3+3xy\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3xy\)

\(=x^2-xy+y^2+3xy=x^2+2xy+y^2\)

\(=\left(x+y\right)^2=1^2=1\)

b) \(B=x^3-y^3-3xy\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3xy\)

\(=x^2+xy+y^2-3xy=x^2-2xy+y^2\)

\(=\left(x-y\right)^2=1^2=1\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :

+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\left(1\right)\)

Cmt ta có : \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\left(2\right)\)

+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\left(3\right)\)

Cộng vế với vế của các BĐT \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta được :

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!