\(\frac{x^3+a\cdot x+b}{x+1}=\frac{x^3+x^2-x^2-x+\left(a+1\right)x+\left(a+1\right)+b-a-1}{x+1}\)

\(=x^2-x+\left(a+1\right)+\frac{b-a-1}{x+1}\)

\(x^3+a\cdot x+b\) chia cho x+1 dư 7

=>b-a-1=7

=>b-a=8

=>a=b-8

\(\frac{x^3+a\cdot x+b}{x-2}=\frac{x^3-2x^2+2x^2-4x+\left(a+4\right)x-2\left(a+4\right)+2a+8+b}{x-2}\)

\(=\frac{x^2\left(x-2\right)+2x\left(x-2\right)+\left(a+4\right)\left(x-2\right)+2a+b+8}{x-2}\)

\(=x^2+2x+a+4+\frac{2a+b+8}{x-2}\)

Theo đề, ta có: 2a+b+8=4

=>2(b-8)+b+8=4

=>2b-16+b+8=4

=>3b-8=4

=>3b=12

=>b=4

a=b-8=4-8=-4

a: \(3x^2+7x-6\)

\(=3x^2+9x-2x-6\)

=3x(x+3)-2(x+3)

=(x+3)(3x-2)

b: \(x^4+x^3-x^2-3x-6\)

\(=x^4+x^3+2x^2-3x^2-3x-6\)

\(=x^2\left(x^2+x+2\right)-3\left(x^2+x+2\right)=\left(x^2+x+2\right)\left(x^2-3\right)\)

c: \(x^4+5x^3+5x^2-5x-6\)

\(=x^4-x^3+6x^3-6x^2+11x^2-11x+6x-6\)

\(=x^3\left(x-1\right)+6x^2\left(x-1\right)+11x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left\lbrack x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right\rbrack\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

CM: \(x^4\) + 9y\(^4\) ≥ 6\(x^2\)y\(^2\)

Xét: A = \(x^4\) + 9\(y^4\) - 6\(x^2y^2\)

A = \(\left(x^2\right)^2\) - 2.\(x^2\).3y\(^2\) + (3y\(^2\))\(^2\)

A = (\(x^2\) - 3y\(^2\))\(^2\) ≥ 0 ∀ \(x;y\)

⇒ \(x^4\) + 9\(y^4\) - 6\(x^2y^2\) ≥ 0 ∀ \(x;y\)

⇒ \(x^4+9y^2\) ≥ 6\(x^2y^2\) ∀ \(x;y\) (đpcm)

\(x^4+9y^4\ge6x^2y^2\)

=>\(x^4+9y^4-6x^2y^2\ge0\)

=>\(\left(x^2\right)^2-2\cdot x^2\cdot3y^2+\left(3y^2\right)^2\ge0\)

=>\(\left(x^2-3y^2\right)^2\ge0\forall x,y\) (luôn đúng)

A = \(x^4\) - \(x^2\) + 5

A = [\(\left(x^2\right)^2\) - 2.\(^{}x^2\).\(\frac12\) + \(\frac14\)] + \(\frac{19}{4}\)

A = [\(x^2\) - \(\frac12\)]\(^2\) + \(\frac{19}{4}\)

Vì [\(x^2\) - \(\frac12\)]\(^2\) ≥ 0 ∀\(x\)

⇒ A = [\(x^2-\frac12\)]\(^2\) + \(\frac{19}{4}\) ≥ \(\frac{19}{4}\) > 0 ∀ \(x\) (đpcm)

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

`x^2+y^2-4xy=3`

`=>4x^2+4y^2-4xy=12`

`=>(4x^2-4xy+y^2)+3y^2=12`

`=>[(2x)^2-2*2x*y+y^2]+3y^2=12`

`=>(2x-y)^2+3y^2=12`

`=>(2x-y)^2=12-3y^2`

Vì: `(2x-y)^2>=0\AAx,y`

`=>12-3y^2>=0`

`=>3y^2<=12`

`=>y^2<=12/3=4`

Mà: `y^2>=0\AAy=>0<=y^2<=4`

`=>0<=y<=2`

Vì: `y∈Z=>y∈{0;1;2}`

`TH1:y=0=>x^2+0^2-x*0=3`

`=>x^2=3`

`=>x=+-\sqrt{3}∉Z=>` (loại)

`TH2:y=1=>x^2+1^2-x*1=3`

`=>x^2-x+1=3`

`=>x^2-x-2=0`

`=>(x+1)(x-2)=0`

`=>x=-1(N)` hoặc `x=2(N)`

`TH3:y=2=>x^2+2^2-x*2=3`

`=>x^2+4-2x=3`

`=>x^2-2x+1=0`

`=>(x-1)^2=0`

`=>x-1=0=>x=1(N)`

Vậy: `(x;y)={(1;2);(-1;1);(2;1)}`

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

CM: a\(^2\) + b\(^2\) + c\(^2\) = (a + b + c)\(^2\) - 2(ab + bc + ca)

Olm chào em, đây là toán nâng cao chuyên đề chứng minh đẳng thức, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết như sau:

Ta có:

(a + b + c)\(^2\) = [(a + b) + c]\(^2\)

⇒ (a + b + c)\(^2\) = (a + b)\(^2\) + 2(a + b)c + c\(^2\)

⇒ (a + b + c)\(^2\) = a\(^2\) + 2ab + \(b^2\) + 2ac + 2bc + c\(^2\)

⇒(a + b + c)\(^2\) = (a\(^2+b^2+c^2\)) + 2(ab + bc + ac)

⇒a\(^2+b^2+c^2\) = (a + b + c)\(^2\) - 2(ab + bc +ac) (đpcm)