a) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{\left(xy\right)^2}=2xy\)

\(y^2+z^2\ge2\sqrt{\left(yz\right)^2}=2yz\)

\(x^2+z^2\ge2\sqrt{\left(xz\right)^2}=2xz\)

Cộng từ vế của các BĐT trên:

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=y\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\))

b) \(2x^2+2y^2+z^2+2xy+2yz+2xz+10x+6y+34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)+\left(x^2+10x+25\right)\)

\(+\left(y^2+6y+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x+5\right)^2+\left(y+3\right)^2=0\)(1)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x+y+z\right)^2\ge0\\\left(x+5\right)^2\ge0\\\left(y+3\right)^2\ge0\end{cases}}\)nên (1) xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=0\\x+5=0\\y+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}z=8\\x=-5\\y=-3\end{cases}}\)

với a, b >0

\(a^9+b^9=a^{10}+b^{10}< =>a^9\left(a-1\right)+b^9\left(b-1\right)=0\)

\(a^{10}+b^{10}=a^{11}+b^{11}< =>a^{10}\left(a-1\right)+b^{10}\left(b-1\right)=0\)

trừ vế theo vế ta được (a-1)(a¹⁰-a⁹) + (b-1)(b¹⁰-b⁹) = 0 <=> [b³(b-1)]² + [b³(b-1)]² =0

<=> \(\hept{\begin{cases}a^3\left(a-1\right)=0\\b^3\left(b-1\right)=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\end{cases}< =>}}\)a = b =1 

vậy P= 2020

\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow a+\sqrt{1+a^2}=b+\sqrt{1+b^2}\)

Bình phương cả 2 vế: \(2a\sqrt{1+a^2}=2b\sqrt{1+b^2}\)

Tiếp tục bình phương: \(a^2+a^4=b^2+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2+\left(b^2-a^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(1-a^2-b^2\right)=0\)

Đến đây ta có: \(\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2+b^2=1\end{cases}}\)

Nếu a=b sẽ có vô số a,b TMDK nên đề bài nên có thêm điều kiện a,b phân biệt

pt <=> \(\left(x-5\right)^4+\left(x-2\right)^4=17\)

Đặt: \(t=x-\frac{5+2}{2}=x-\frac{7}{2}\)

pt trở thành: \(\left(t+\frac{7}{2}-5\right)^4+\left(x+\frac{7}{2}-2\right)^4=17\)

<=> \(\left(t-\frac{3}{2}\right)^4+\left(t+\frac{3}{2}\right)^4=17\)  ( Nếu em nhớ hằng đẳng thức (a+b)^4 thì có thể làm tắt rồi rút gọn )

<=> \(\left[\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\left(t+\frac{3}{2}\right)^2\right]^2-2\left(t-\frac{3}{2}\right)^2\left(t+\frac{3}{2}\right)^2=17\)

<=> \(\left(2t^2+\frac{9}{2}\right)^2-2\left(t^2-\frac{9}{4}\right)^2=17\)

<=> \(2t^4+27t^2-\frac{55}{8}=0\)

<=> \(\left(t^4+2.t^2.\frac{27}{4}+\frac{27^2}{4^2}\right)-\frac{27^2}{4^2}-\frac{55}{16}=0\)

<=> \(\left(t^2+\frac{27}{4}\right)^2=49\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}t^2=\frac{1}{4}\\t^2=-\frac{55}{4}\left(loai\right)\end{cases}}\Leftrightarrow t=\pm\frac{1}{2}\)

Với  t = 1/2 em thay vào tính x

       t =-1/2 ....

\(x^2+y^2-1-2xy\)

\(=\left(x-y\right)^2-1\)

\(=\left(x-y+1\right)\left(x-y-1\right)\)