Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc BC tại E.
a, C/m : AB = BE
b, AE cắt BD tại I. C/m : AE vuông góc với BD
c, Gọi H là giao điểm của AB và DE.
C/m : BH = BC
d, C/m : AE//HC
Giúp mik 2 câu cuối với
A B C D E I H
a/
Xét tg vuông ABD và tg vuông EBD có
BD chung; \(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\left(gt\right)\)
=> tg ABD = tg EBD (hai tg vuông có cạnh huyền và 1 góc nhọn bằng nhau) => AB=BE
b/
Xét tg ABE có
AB=BE (cmt) => tg ABE cân tại B
Mà BD là phân giác của \(\widehat{B}\) (gt) => BD là đường cao của tg ABE (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao) \(\Rightarrow AE\perp BD\)
c/
Xét tg vuông ABC và tg vuông EBH có
AB=BE (cmt)
\(\widehat{ACB}=\widehat{EHB}\) (cùng phụ với \(\widehat{B}\) )
=> tg ABC = tg EHB (Hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => BH=BC
d/
C/m tương tự câu (b) khi xét tg BCH
\(\Rightarrow HC\perp BD\)
Mà \(AE\perp BD\left(cmt\right)\)
=> AE//HC (cùng vuông góc với BD)
a) Xét hai tam giác vuông ABD (vuông tại A) và tam giác BDE (vuông tại E) ta có:
BD là cạnh chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{DBE}\) (BD là phân giác của góc B)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta DBE\) (cạnh huyền góc nhọn)
\(\Rightarrow AB=BE\) (hai cạnh tương ứng)
b) Ta có: \(\Delta ABD=\Delta DBE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADI}=\widehat{IDE}\\AD=DE\end{matrix}\right.\)
Xét hai tam giác ADI và tam giác EDI có:
\(\widehat{ADI}=\widehat{IDE}\left(cmt\right)\)
\(AD=DE\left(cmt\right)\)
\(ID\) là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ADI=\Delta EDI\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{DIE}\) (2 cạnh t.ứng)
Mà: \(\widehat{ADI}+\widehat{DIE}=180^o\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{ADI}=\widehat{DIE}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
Hay AE ⊥ BD
c) Xét 2 tam giác vuông HBE (vuông tại E) và tam giác CBA (vuông tại A) ta có:
\(\widehat{HBC}\) chung
\(AB=BE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta HBE=\Delta CBA\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow BH=BC\) (2 cạnh t.ứng)
d) Tam giác HBC có HB = HC (cmt)
\(\Rightarrow\Delta HBC\) cân tại H
Gọi F là giao điểm của BD và HC ta có:
BF là tia phân của góc B
Nên đồng thời BF cũng là đường cao của tam giác HBC
\(\Rightarrow BF\perp HC\) (1)
Mà: \(BD\perp AE\) hay \(BF\perp AE\left(cmt\right)\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
AE//HC (đpcm)