Lần sau bạn lưu ý đăng đầy đủ yêu cầu đề bài. 

Lời giải:

$E=1.1+2.2+3.3+...+99^2+100^2$
$=1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+....+99(100-1)+100(101-1)$

$=\underbrace{(1.2+2.3+3.4+...+99.100+100.101)}_{M}-\underbrace{(1+2+3+...+100)}_{N}$

Xét:

$N=100(100+1):2=5050$
$M = 1.2+2.3+3.4+....+99.100+100.101$
$3M = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+...+99.100(101-98)+100.101(102-99)$

$=1.2.3+2.3.4+3.4.5+.....+99.100.101+100.101.102-(1.2.3+2.3.4+....+98.99.100+99.100.101)$

$=100.101.102$

$\Rightarrow M = \frac{100.101.102}{3}=343400$

$\Rightarrow E=M-N=343400-5050=338350$

=1+ 2 (1+1)+ (2+1 )3+...+(99+1)100

=1+2+1.2+2.3+3+...+99.100+100

=(1+2+3+...+100)+(1.2+2.3+...+99.100)

=5050+(1.2+2.3+...+99.100)

đặt A=1.2+2.3+...+99.100

=>3A=1.2.3+2.3.3+...+99.100.3

=1.2.3+2.3(4-1)+...+99.100(101-98)

=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+...+98.99.100-98.99.100+99.100.101

=999900

=>A=333300

=>M=333300+5050=338350

Lời giải:

$B=-x(x+2)-2x+100=-x^2-4x+100$

$=104-(x^2+4x+4)=104-(x+2)^2$

Do $(x+2)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow B=104-(x+2)^2\leq 104$
Vậy $B_{\max}=104$. Giá trị này đạt tại $x+2=0\Leftrightarrow x=-2$

a) Do B là trung điểm của AM (gt)

⇒ BA = BM

Xét ∆ABC và ∆MBI có:

BA = BM (cmt)

∠ABC = ∠MBI (đối đỉnh)

BC = BI (gt)

⇒ ∆ABC = ∆MBI (c-g-c)

⇒ AC = MI (hai cạnh tương ứng)

Do ∆ABC = ∆MBI (cmt)

⇒ ∠ACB = ∠MIB (hai góc tương ứng)

Mà ∠ACB và ∠MIB là hai góc so le trong

⇒ AC // MI

b) Do D là trung điểm của MI (gt)

⇒ DM = DI

Xét ∆ADI và ∆EDM có:

DI = DM (cmt)

∠ADI = ∠EDM (đối đỉnh)

AD = DE (gt)

⇒ ∆ADI = ∆EDM (c-g-c)

⇒ AI = ME (hai cạnh tương ứng)

Do ∆ADI = ∆EDM (cmt)

⇒ ∠AID = ∠EMD (hai góc tương ứng)

Mà ∠AID và ∠EMD là hai góc so le trong

⇒ AI // ME

c) Đề sai, em xem lại đề nhé

Bạn xem lại đề. Đề sai.

a) Sửa đề: Chứng minh ∆ABE = ∆DBE

Xét hai tam giác vuông: ∆ABE và ∆DBE có:

BE là cạnh chung

BA = BD (gt)

⇒ ∆ABE = ∆DBE (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do ∆ABE = ∆DBE (cmt)

⇒ AE = DE (hai cạnh tương ứng)

∆CDE vuông tại D

EC là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất

⇒ DE < EC

Mà AE = DE (cmt)

⇒ AE < EC

c) Gọi G là giao điểm của AD và BE

Do ∆ABE = ∆DBE (cmt)

⇒ ∠ABE = ∠DBE (hai góc tương ứng)

⇒ ∠ABG = ∠DBG

Xét ∆ABG và ∆DBG có:

BA = BD (gt)

∠ABG = ∠DBG (cmt)

BG là cạnh chung

⇒ ∆ABG = ∆DBG (c-g-c)

⇒ ∠AGB = ∠DGB (hai góc tương ứng)

Mà ∠AGB + ∠DGB = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AGB = ∠DGB = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ BG ⊥ AD (1)

Do ∆ABG = ∆DBG (cmt)

⇒ AG = DG (hai cạnh tương ứng)

⇒ G là trung điểm của AD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BG là đường trung trực của AD

⇒ BE là đường trung trực của AD

d) Xét hai tam giác vuông: ∆EDC và ∆EAF có:

DE = AE (cmt)

∠DEC = ∠AEF (đối đỉnh)

⇒ ∆EDC = ∆EAF (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ EC = EF (hai cạnh tương ứng)

∆EFC có:

EC = EF (cmt)

⇒ ∆EFC cân tại E

Lời giải:

** Sửa lại đề:
$S=1.2^0+2.2^1+3.2^2+...+2019.2^{2018}$

$2S=1.2^1+2.2^2+3.2^3+...+2018.2^{2018}+2019.2^{2019}$

$\Rightarrow 2S-S=2019.2^{2019}-(2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{2018})$

$\Rightarrow S=2019.2^{2019}-(2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{2018})$

Xét:

$M=2^0+2^1+2^2+..+2^{2018}$

$2M=2^1+2^2+2^3+...+2^{2019}$

$\Rightarrow 2M-M=2^{2019}-2^0$

$\Rightarrow M=2^{2019}-1$
$S=2019.2^{2019}-M = 2019.2^{2019}-(2^{2019}-1)=2018.2^{2019}+1$

Xét hiệu:

$S-(2019.2^{2018}+2019)=2018.2^{2019}+1-2019.2^{2018}-2019$

$=2^{2018}(2018.2-2019)+1-2019$

$=2^{2018}.2017-2018>0$

$\Rightarrow S> 2019.2^{2018}+2019$

Lời giải:
a. 

Đặt $\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=k\Rightarrow a=5k, b=4k$

Khi đó:
$a^2-b^2=1$

$\Rightarrow (5k)^2-(4k)^2=1$

$\Rightarrow 9k^2=1\Rightarrow k^2=\frac{1}{9}\Rightarrow k=\frac{1}{3}$ hoặc $k=\frac{-1}{3}$
Nếu $k=\frac{1}{3}$ thì:

$a=5k=\frac{5}{3}; b=4k=\frac{4}{3}$

Nếu $k=\frac{-1}{3}$ thì:

$a=5k=\frac{-5}{3}; b=4k=\frac{-4}{3}$

b.

Đặt $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$

$\Rightarrow a=2k; b=3k; c=4k$

Khi đó:

$a^2-b^2+2c^2=108$

$\Rightarrow (2k)^2-(3k)^2+2(4k)^2=108$

$\Rightarrow 27k^2=108$

$\Rightarrow k^2=4\Rightarrow k=\pm 2$

Nếu $k=2$ thì:

$a=2k=4; b=3k=6; c=4k=8$

Nếu $k=-2$ thì:

$a=2k=-4; b=3k=-6; c=4k=-8$