t nói trước đây là bài làm rất xàm nên đừng tin nhé,spam đấy!

Không mất tính tổng quát giả sử \(c\ge0\)

\(a=c+x+y;b=c+y;c=c\)

Ta cần chứng minh \(A=f\left(x;y;c\right)=\left[\left(c+x+y\right)^2+\left(c+y\right)^2+c^2\right]\left[\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right]\ge\frac{9}{2}\)

\(\ge\frac{\left(3c+x+y\right)}{3}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)=T\left(x;y;c\right)\)

Xét hiệu \(T\left(x;y;c\right)-T\left(x;y;0\right)=c\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)\ge0\)

Nên \(T\left(x;y;c\right)\ge T\left(x;y;0\right)=\frac{1}{3}\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)\)

Cần chứng minh \(\frac{1}{3}\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\right)\ge\frac{9}{2}\)

...

Ta có:\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\) (Áp dụng BĐT AM-GM)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.

#)Trả lời :

\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)

Tách VT = A + B và xét :

\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)

\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)

( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Tham khảo nhé ^^

a)    \(x^2-2\sqrt{2}x+2\)

\(=\left(x-\sqrt{2}\right)^2\)

b)    \(x^2+2\sqrt{5}x+5\)

\(=\left(x+5\right)^2\)

Áp dụng bđt Cô-si có'

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{x+y}{2}}=\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(1)

Áp dụng bđt trên ta được

\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2a+b+c}\right)^2\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2\)

Chứng minh tương tự rồi cộng các vế lại cho nhau ta được

\(A\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2\)

\(\Rightarrow16A\le\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2\)

               \(=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a+b};\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)

Khi đó \(16A\le2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)

Ta có bđt phụ sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(tự chứng minh) (2)

Áp dụng ta được

\(16A\le4x^2+4y^2+4z^2=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)

\(\Rightarrow4A\le\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\)

Từ (1) \(\Rightarrow\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)(Bình phương 2 vế lên) 

Áp dụng bđt này ta được

\(4A\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\Rightarrow64A\le\frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{bc}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ac}+\frac{1}{a^2}\)

\(\Rightarrow64A\le\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\)

\(\Rightarrow32A\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

Áp dụng bđt (2) ta được \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

\(\Rightarrow32A\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3+3=6\)

\(\Rightarrow A\le\frac{6}{32}=\frac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c = 1

#)Em thấy có link này có cách giải ngắn gọn hơn nek :

https://h.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=cho+c%C3%A1c+s%E1%BB%91+th%E1%BB%B1c+d%C6%B0%C6%A1ng+a,b,c+thay+%C4%91%E1%BB%95i+lu%C3%B4n+th%E1%BB%8Fa+m%C3%A3n+1/a2+++1/b2+++1/c2+=3.T%C3%ACm+Max+P+=+1/(2a+b+c)2++1(2b+a+c)2++1/(2c+a+b)2&id=394201

Ai cần link này ib e nhé ! e gửi cho chị #Diệp Song Thiên đã ^^

Áp dụng bđt \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)

Ta có \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)

Dấu "=" tại a = b

viết rõ đề dc ko bạn ơi 2 vế so sánh vế nào với vế nào ạ?

\(\frac{4}{5}\sqrt{3}+\frac{9}{13}\sqrt{2}=\frac{52\sqrt{3}+45\sqrt{2}}{65}=2,364711574\)  \(< 2,4\)

vậy \(\frac{4}{5}\sqrt{3}+\frac{9}{13}\sqrt{2}< 2,4\)

a, x²-7=\(\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)\)

b, x²-3=\(\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\)

Học tốt!!!!!!!!!!

a/ \(x^2-7\)

\(=\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)\)

b/ \(x^2-3\)

\(=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\)

c/ \(x^2-2\sqrt{13}x+13\)

\(=\left(x-\sqrt{13}\right)^2\)

Mấy bài này áp dụng HĐT nhé bạn :3

Gọi hai trung tuyến kẻ từ B, C là BM và CN, chúng cắt nhau tại O

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng : Nếu hai trung tuyến đó vuông góc thì b^2 + c^2 = 5a^2 , từ đó suy ra điều ngược lại (vì mệnh đề này đúng với thuận và đảo)
Gỉa sử BM vuông góc với CN tại O
Ta đặt OM = x => OB = 2x và => OC =2y
AB^2/4 + AC^2/4= NB^2 + MC^2 = ON^2 + OB^2 + OM^2 + OC^2 = 5(x^2 + y^2)
=> AB^2 + AC^2 = 20(x^2 + y^2)
Mà BC^2 = OC^2 + OB^2 = 4(x^2 + y^2)
Suy ra : AB^2 + AC^2 = 5.4(x^2 + y^2) = 5BC^2 hay b^2 + c^2 = 5a^2
Vậy ta có điều ngược lại là nếu b^2 + c^2 = 5a^2 thì hai trung tuyến vuông góc

\(a,\)\(\sqrt{5x^2-3x-8}\)

\(đkxđ\Leftrightarrow5x^2-3x-8\ge0\)

\(\Rightarrow5x^2+5x-8x-8\ge0\)

\(\Rightarrow5x\left(x+1\right)-8\left(x+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(5x-8\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1\ge0;5x-8\ge0\\x+1< 0;5x-8< 0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge-1;x\ge\frac{8}{5}\\x< -1;x< \frac{8}{5}\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x\ge\frac{8}{5}\\x< -1\end{cases}}}\)

\(b,\)\(\sqrt{5x^2+4x+7}\)

\(đkxđ\Leftrightarrow5x^2+4x+7\ge0\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+\frac{4}{5}x+\frac{7}{5}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+2.\frac{2}{5}+\frac{4}{25}-\frac{4}{25}+\frac{7}{5}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow5\left[\left(x+\frac{2}{5}\right)^2+\frac{31}{25}\right]\ge0\)

\(\Rightarrow5\left(x+\frac{2}{5}\right)^2+\frac{31}{5}\ge0\)( luôn đúng )

\(\Rightarrow\)Biểu thức được xác định với \(\forall x\)