A B C D E F

có DF; EF là đường trung bình của tg ABC (gt)

=> DF // AC (đl) và EF // AB (đl)

=> ^AED = ^EDF và ^ADE = ^DEF (slt)

xét tg ADE và tg FED có : ED chung

=> tg ADE = tg FED (c-g-c)

tương tự với các tg còn lại nhé b

A B C M N P

ta có MN , MP là đường trung bình của tam giác ABC 

\(\Rightarrow MP//AC;NP//AB\)

\(\Rightarrow\widehat{ANM}=\widehat{NMP};\widehat{AMN}=\widehat{MNP}\)

Xét tam giác AMN và tam giác PNM có 

cạnh MN chung

Do đó ; tam giác AMN = tam giác PNM [ g.c.g ]

Ta làm tương tự xét 2 cặp tam giác còn lại để rút ra trong một tam giác ba đường trung bình chia tam giác ra làm 4 tam giác bằng nhau

Học tốt nhé

B A I E C F K

a) Xét \(\Delta BAE\)và \(\Delta BFE\)có

\(\widehat{ABE}=\widehat{FBE}\)(gt)

BE chung

=>\(\Delta BEA\)=\(\Delta BEF\)(cạnh huyền-góc nhọn)

=> EA=EF ( 2 cạnh tương ứng) 

=> BA=BF(2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta BKA\)và \(\Delta BKF\)có:

BA = BF (cmt)

\(\widehat{ABK}=\widehat{FBK}\left(gt\right)\)

BK chung

=> \(\Delta BKA\)=\(\Delta BKF\)(c.g.c)

=> AK = KF (2 cạnh tương ứng) (1)

=>\(\widehat{AKB}=\widehat{FKB}\)(2 góc tương ứng)

Mà 2 góc lại kề bù  =>\(\widehat{AKB}=\widehat{FKB}=90^o\)(2)

Từ (1),(2)=> đpcm

b) Xét \(\Delta BAC\)và \(\Delta BFI\)có

BA = BF(a)

\(\widehat{B}\)chung

\(\widehat{BAE}=\widehat{BFE}=90^o\)

=> \(\Delta BAC\)=\(\Delta BFI\)(g.c.g)

Xét \(\Delta EAI\)và \(\Delta EFC\)có:

\(\widehat{AEI}=\widehat{FEC}\)(đối đỉnh)

EA = EF( a)

\(\widehat{EAI}=\widehat{CFE}=90^o\)

=> \(\Delta EAI\)= \(\Delta EFC\)(g.c.g)

=> EI=EC.

a) xét \(\Delta ABC\)CÓ

\(BC^2=10^2=100\)

\(AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100\)

VÌ \(100=100\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)

VẬY \(\Delta ABC\) VUÔNG TẠI A

trong tam giác ABC ta có :

     AB²=6²=36

     AC²=8²=64

    BC²=10²=100

ta thấy : 100=36+64 => BC²=AC²=AB²( định lý pytago đảo )

=> tam giác ABC vuông tại A 

CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!

Bài làm:

\(\frac{3}{200}-\frac{3}{110}-\frac{3}{90}-\frac{3}{72}-\frac{3}{56}-...-\frac{3}{2}\)

\(=\frac{3}{200}-3\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{110}\right)\)

\(=\frac{3}{200}-3\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{10.11}\right)\)

\(=\frac{3}{200}-3\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\right)\)

\(=\frac{3}{200}-3\left(1-\frac{1}{11}\right)\)

\(=\frac{3}{200}-\frac{30}{11}=-\frac{5967}{2200}\)

Học tốt!!!!

We bear're bears!

:)

Ta có :

2xy + x - 2y = 4

\(\Rightarrow\) 2y ( x - 1 ) + x = 4

\(\Rightarrow\) 2y ( x - 1 ) + x - 1 = 3

\(\Rightarrow\) 2y ( x - 1 ) + ( x - 1 ) = 3

\(\Rightarrow\) ( x - 1 ) . ( 2y + 1 ) = 3

\(\Rightarrow\) x - 1 và 2y + 1 là Ư(3) = { - 3 ; - 1 ; 1 ; 3 }

Ta có bảng :

Vậy ...

2xy+x-2y=4

x(2y+1)-2y=4

x(2y+1)-2y-1=3

x(2y+1)-(2y+1)=3

(x-1)(2y+1)=3

Vì x;y là số nguyên => x-1;2y+1 là số nguyên

                               => x-1;2y+1   Ư(3)

Ta có bảng:

Vậy cặp số nguyên (x;y) cần tìm là: (2;1) ; (4;0) ; (-2;-1) ; (0;-2).

-trường hợp c-g-c là 2 cạnh kề với 1 góc.

- trường hợp g.c.g là 2 góc kề với 1 cạnh.

- trường hợp ch-gn là cạnh huyền kề với một góc .

chúc bạn học tốt !!!

Bài làm

a) Xét tam giác ABM có:

MK là đường trung trực

=> MB = MA ( tính chất đường trung trực )

=> Tam giác ABM cân tại M

b) Vì MK vuông góc AB 

CB vuông góc AB 

=> MK // CB

=> ^AMK = ^MCB ( đồng vị ).         (1)

Vì tam giác ABM cân tại M

Mà MK là trung trực

=> MK là phân giác

=> ^AMK = ^BMK.         (2)

Từ (1) và (2) => ^BMK = ^MCB.         (3)

Vì tam giác BMK vuông tại K

=> ^BMK + ^MBK = 90°

Vì tam giác ABC vuông tại A

=> ^MBK + ^MBC = 90°

=> ^BMK = ^MBC.       (4)

Từ (3) và (4) => ^MBC = ^MCB 

bài làm

c) Xét tam giác BIA có:

AH vuông góc với BI

IK vuông góc với AB

Mà AH và IK cắt nhau ở M

=> M là trực tâm

=> BM vuông góc với IA ( đpcm )

d) Xét tam giác HMB và tam giác EMA có:

^MHB = ^MEA = 90°

Cạnh huyền: BM = AM ( cmt )

Góc nhọn: ^HMB = ^EMA ( đối )

=> Tam giác HMB = tam giác EMA ( ch-gn )

=> HM = ME

=> Tam giác MHE cân tại M

=> ^MHE = ^MEH

Xét tam giác MHE có:

^HME + ^MHE + ^MEH = 180°

=> ^HME + 2^MHE = 180°

=> 2^MHE = 180° - ^HME.    (5)

Xét tam giác ABM cân tại M có:

^BMA + ^MBA + ^MAB = 180°

=> ^BMA + 2^MAB = 180°

=> 2^MAB = 180° - ^BMA.       (6)

Mà ^HME = ^BMA ( đối ).        (7)

Từ (5) và (6) và (7) => 2^MHE = 2^MAB

                                  => ^MHE = ^MAB

Mà hai góc này ở vị trí so le le trong

=> HE // AB

A B C D E I H 1 2 1 2 1 1 2 1

a) Từ I kẻ IH vuông góc với BC

Xét t/giác BID và BIH 

có: \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)(gt)

 BI: chung

 \(\widehat{BDI}=\widehat{BHI}=90^0\)

=> t/giác BID = t/giác BID (ch.gn)

=> DI = IH (2 cạnh t/ứng) (1)

CMTT: t/giác ECI = t/giác HCI (ch - gn)

=> EI = IH (2)

Từ (1) và (2) => DI = IE

Nối A và I

TA có: AH // IE (vì cùng vuông góc với AC) => \(\widehat{DAI}=\widehat{AIE}\)(slt)

Xét t/giác DAI và t/giác EIA

có: IA : chung

\(\widehat{ADI}=\widehat{IEA}=90^0\)(gt)

 \(\widehat{DAI}=\widehat{AIE}\)(cmt)

=> t/goác DAI = t/giác EIA (ch - gn)

=> DI = EA; AD = EI (các cặp cạnh tương ứng)

mà DI = EI (cmt) 

=> AE = AD (đpcm)

b) Xét t/giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB²  + AC² (định lí Pi - ta - go)

=> BC² = 6² + 8² = 100

=> BC = 10 (cm)

Ta có: t/giác BID = t/giác BIH (cmt) => BD = BH (2 cạnh t/ứng)

t/giác CIE = t/giác CIH (cmt) => CH = EC (2 cạnh t/ứng)

=> BD + EC = DH + HC = BC = 10 cm

Ta lại có: AB + AC =  BD + AD + AE + EC = (BD + EC) + 2AD = 6 + 8

=> 2AD + 10 = 14

=> 2AD = 4 => AD = AE = 2 cm

A B C I D E K

a) Vì I là giao điểm của phân giác \(\widehat{B}\)và \(\widehat{C}\)

=> AI là phân giác \(\widehat{A}\)

=> ID=IE (1)

\(\Delta ADI\)và \(\Delta AEI\)vuông cân

=> ID=AD; IE=AE (2)

Từ (1)(2) => ED=AE (đpcm)

b) Hạ IK _|_ BC; ID _|_ AB; IE _|_ AC

=> BD=BK; CK=CE; AD=AE

\(\Delta ABC\)vuông tại A có AB=6cm; AC=8cm. Áp dụng định lý Pytago ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Đặt AD=x => BK=6-x; CK=8-c

=> 6-x+8-x=10

=> x=2

Vậy AD=2cm

A B C M N H E D I I

Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta NDM\)có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{A}=\widehat{DNM}=90^o\left(gt\right)\\MB=MD\left(gt\right)\\\widehat{AMB}=\widehat{NMD}\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABM=\Delta NDM\left(ch-gn\right)\left(đpcm\right)\)

Ta có \(\widehat{ABM}=\widehat{NDM}\left(\Delta ABM=\Delta NDM\right)\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{CBM}\)(BM là phân giác \(\widehat{B}\))

\(\Rightarrow\widehat{NDM}=\widehat{CBM}\)hay \(\widehat{EDB}=\widehat{EBD}\)

\(\Rightarrow\Delta BED\)cân tại E

=> BE=DE (đpcm)

Kẻ MH vuông góc với BC tại H

Ta có MH=MA (vì BM là tia phân giác của \(\widehat{B}\))

và MA=MN (\(\Delta ABM=\Delta NDM\)) 

=> MN=MH

Xét \(\Delta MHC\)vuông tại H có MH<MC (vì MC là cạnh huyền)

=> MN<MC (đpcm)