a) Do M là trung điểm của BC (gt)

⇒ MB = MC

Xét ∆MAB và ∆MDC có:

MA = MD (gt)

∠AMB = ∠DMC (đối đỉnh)

MB = MC (cmt)

⇒ ∆MAB = ∆MDC (c-g-c)

b) Do ∆MAB = ∆MDC (cmt)

⇒ ∠MAB = ∠MDC (hai góc tương ứng)

Mà ∠MAB và ∠MDC là hai góc so le trong

⇒ AB // CD

c) Do MA = MD (gt)

⇒ AD = 2AM

Do ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ AB ⊥ AC

Mà AB // CD (cmt)

⇒ CD ⊥ AC

⇒ ∆CDA vuông tại C

Do ∆MAB = ∆MDC (cmt)

⇒ AB = CD (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông: ∆ABC và ∆CDA có:

AC là cạnh chung

AB = CD (cmt)

⇒ ∆ABC = ∆CDA (hai cạnh góc vuông)

⇒ BC = AD (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = 2AM (cmt)

⇒ BC = 2AM

d) Xét ∆MAC và ∆MDB có:

MA = MD (gt)

∠AMC = ∠DMB (đối đỉnh)

MC = MB (cmt)

⇒ ∆MAC = ∆MDB (c-g-c)

⇒ ∠MAC = ∠MDB (hai góc tương ứng)

Mà ∠MAC và ∠MDB là hai góc so le trong

⇒ AC // BD

Mà AC ⊥ AB (cmt)

⇒ AB ⊥ BD

21.x = 19.y và x-y=4

Hay x/21 = y/19 và x - y = 4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 

x/21 = y/19 = x-y/21-19 = 4/2 = 2

=> x/21 = 2 => x = -2 × 19 = 42

     y/19 = 2 => y = -2 × 22 = 38

Vậy x = 42

       y = 38

Lời giải:
$A=1+2.3+3.4+4.5+...+2022.2023$

$3A=3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+4.5(6-3)+....+2022.2023(2024-2021)$

$=3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+...+2022.2023.2024-(1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+2021.2022.2023)$

$=3+2022.2023.2024-1.2.3=2022.2023.2024-3$

$\Rightarrow A=2759728047$

Theo bài ra ta có: 

\(\dfrac{\widehat{A}}{1}\) = \(\dfrac{\widehat{B}}{2}\) = \(\dfrac{\widehat{C}}{3}\) 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{\widehat{A}}{1}\) = \(\dfrac{\widehat{B}}{2}\) = \(\dfrac{\widehat{C}}{3}\) = \(\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{1+2+3}\) = \(\dfrac{180^0}{6}\) = 30⁰

\(\dfrac{\widehat{C}}{3}\) = 30⁰ ⇒ \(\widehat{C}\) = 30⁰ x 3 = 90⁰

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C (đpcm)

Lời giải:

Tỉ số lúa mì so với bột mì: $12:11$

Tỉ số bột mì so với bánh mì: $10:13$

Từ 1440 kg lúa mì thu được số kg bột mì là:

$1440:12\times 11=1320$ (kg) 

Từ 1320 kg bột mì thu được số kg bánh mì là:

$1320:10\times 13=1716$ (kg) 

b.

Làm 260 kg bánh mì cần: $260\times 10:13=200$ (kg bột mì)

Sửa đề:

x/5 = y/3 = z/4

⇒ 2x/10 = 3y/9 = z/4

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

2x/10 = 3y/9 = (2x - 3y)/(10 - 9) = 11/1 = 11

x/5 = 11 ⇒ x = 11.5 = 55

y/3 = 11 ⇒ y = 11.3 = 33

z/4 = 11 ⇒ z = 11.4 = 44

Vậy x = 55; y = 33; z = 44

= 1.016,90385

*) Trường hợp 1: \(D\equiv H\)

AD là đường vuông góc, AB là đường xiên hạ từ A xuống BC nên AB > AD (1)

*) Trường hợp 2:

\(D\ne H\) \(\Rightarrow D\) nằm giữa BH hoặc CH

+) D nằm giữa BH và giả sử \(D\equiv D_1\)

Ta có:

\(\widehat{AD_1B}\) là góc ngoài của \(\Delta AHD_1\)

\(\Rightarrow\widehat{AD_1B}=\widehat{D_1AH}+\widehat{AHD_1}\)

\(\Rightarrow\widehat{AD_1B}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong \(\Delta ABD_1\)

Mà AB là cạnh đối diện với \(\widehat{AD_1B}\) nên AB là cạnh lớn nhất

\(\Rightarrow AB>AD_1\)

\(\Rightarrow AB>AD\) (2)

+) D nằm giữa CH và giả sử \(D\equiv D_2\)

Ta có:

\(\widehat{AD_2C}\) là góc ngoài của \(\Delta AHD_2\)

\(\Rightarrow\widehat{AD_2C}=\widehat{D_2AH}+\widehat{AHD_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{AD_2C}\) là góc tù nên là góc lớn nhất trong \(\Delta ACD_2\)

Mà AC là cạnh đối diện với \(\widehat{AD_2C}\) nên AC là cạnh lớn nhất

\(\Rightarrow AC>AD_2\)

\(\Rightarrow AC>AD\)

Mà AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow AB>AD\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow AB>AD\)

Gọi số sản phẩm của 2 người công nhân là x,y

Ta có: xy=0,8⇒x8=y10

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau:

x8=y10=y−x10−8=502=25

=> x = 200; y = 250

Đặt: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=k\)

\(\Rightarrow x=2k;y=3k\)

Mà: \(x.y=90\)

\(\Rightarrow2k\cdot3k=90\)

\(\Rightarrow6k^2=90\)

\(\Rightarrow k^2=15\) 

\(\Rightarrow k=\pm\sqrt{15}\) 

Khi \(k=\sqrt{15}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\sqrt{15}\\y=3\sqrt{15}\end{matrix}\right.\) 

Khi \(k=-\sqrt{15}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\sqrt{15}\\y=-3\sqrt{15}\end{matrix}\right.\)