Tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{2020-x}{6-x}\)

Ta có : \(\frac{2020-x}{6-x}=\frac{6-x+2014}{6-x}=\frac{6-x}{6-x}+\frac{2014}{6-x}=1+\frac{2014}{6-x}\)

Đa thức lớn nhất \(\Leftrightarrow1+\frac{2014}{6-x}\)lớn nhất  \(\Rightarrow\frac{2014}{6-x}\)lớn nhất  \(\Rightarrow6-x\)nhỏ nhất và \(6-x>0\)

Mà \(x\in Z\)\(\Rightarrow x=5\)

Vậy giá trị lớn nhất của đa thức \(=\frac{2020-5}{6-5}=2020-5=2015\)\(\Leftrightarrow x=5\)

ĐK: \(x^2+5x+3\ge0\); \(x^2+5x-2\ge0\)(1)

 \(\sqrt{x^2+5x+3}+\sqrt{x^2+5x-2}=5\)(2)

Dễ thấy 

\(\sqrt{x^2+5x+3}\ne\sqrt{x^2+5x-2}\)

pt (2) <=> \(\frac{5}{\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}}=5\)

<=> \(\frac{1}{\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}}=1\)

<=>\(\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}=1\)

<=> \(\sqrt{x^2+5x+3}=1+\sqrt{x^2+5x-2}\)

<=> \(x^2+5x+3=1+x^2+5x-2+2\sqrt{x^2+5x-2}\)

<=> \(\sqrt{x^2+5x-2}=2\)

<=> \(x^2+5x-6=0\)

<=> x=1 ( tm đk (1) )

hoặc x=-6  ( tmđk (1))

√x²+5x+3 + √x²+5x-2 =5

<=> √x²+5x+3 = 5-√x²+5x-2

<=> x²+5x+3=25-10√x²+5x-2 +x²+5x-2

<=> 3=25-10√x²+5x-2  -2

<=> 3=23-10√x²+5x-2

<=> 10√x²+5x-2=23-3=20

<=> √x²+5x-2=2

<=> x²+5x-2=4

<=> x²+5x-2-4=0

<=> x²+5x-6=0

<=> x=-5(+-) √5²-4.1.(-6) / 2.1

<=> x=-5(+-)√25+24 / 2

<=>x=-5+7 / 2 hoặc x=-5-7 / 2

<=> x=1 hoặc x=(-6)

ĐK \(x\ge0,x\ne1,2\)

Ta có

\(P=\sqrt{x-1}-1+\sqrt{6-3x}+1\)

\(=\frac{x-1-1}{\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{3\left(2-x\right)}+1\)

\(=\left(2-x\right)\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)+1\)

Nhận thấy     \(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}>0\)

mà \(2-x\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2-x\right)\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)+1\ge1\)

Dấu "=" xr khi 2-x=0

Giúp với :((

bạn có chắc chắn đề đúng

Giả sử z lớn nhất trong 3 số x,y,z suy ra x+y+z\(\le\)3z  => z\(\ge\)1

Kết hợp với điều kiện đề bài =>\(1\le z\le2\)

Ta có \(x^3+y^3\le\left(x+y\right)^3=\left(3-z\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\le\left(3-z\right)^3+z^3=27-27z+9z^2=9\left(z-1\right)\left(z-2\right)+9\)

Do \(1\le z\le2\)nên \(9\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi (x,y,z)=(0,1,2) và các hoán vị

Theo BĐT AM-GM, ta có

\(\frac{x^2}{y-2}\)+4(y-2) \(\ge\)4x

\(\frac{y^2}{x-2}\)+4(x-2)\(\ge\)4y

Cộng vế theo vế của 2 bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{x^2}{y-2}\)+\(\frac{y^2}{x-2}\)+4x+4y-16\(\ge\)4x+4y

<=>\(\frac{x^2}{y-2}\)+\(\frac{y^2}{x-2}\)​​\(\ge\)16

Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=4

Xét phương trình trên có:

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-2m+4\right)=m^2-4m+4-m^2+2m-4=-2m\)

Để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)điều kiện là:

\(\Delta'>0\Leftrightarrow-2m>0\Leftrightarrow m< 0\)

Với m<0. Áp dụng định lí Vi ét ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2-2m+4\end{cases}}\)

=> \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=4\left(m-2\right)^2-2\left(m^2-2m+4\right)=2m^2-12m+8\)

Ta có:

\(\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)

<=> \(\frac{2}{2m^2-12m+8}-\frac{1}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15m}\)(điều kiện: \(2m^2-12m+8\ne0\))

<=> \(\frac{1}{m^2+4-6m}-\frac{1}{m^2+4-2m}=\frac{1}{15m}\)

<=> \(\frac{4m}{\left(m^2+4-6m\right)\left(m^2+4-2m\right)}=\frac{1}{15m}\)

<=> \(60m^2=\left(m^2+4\right)^2-8m\left(m^2+4\right)+12m^2\)

<=> \(\left(m^2+4\right)^2-8m\left(m^2+4\right)-48m^2=0\)

<=> \(\left(\frac{m^2+4}{m}\right)^2-8\frac{m^2+4}{m}-48=0\)

Đặt t=\(\frac{m^2+4}{m}< 0\)

Ta có phương trình ẩn t:

\(t^2-8t-48=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-4\\t=12\left(loai\right)\end{cases}}\)

Với t=-4 ta có:

\(\frac{m^2+4}{m}=-4\Leftrightarrow m^2+4m+4=0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m=-2\)( tmđk)

vậy m=-2

\(\left(a+b+c\right)^3=\left[\left(a+b\right)+c\right]^3=\left(a+b\right)^3+c^3+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(ab+ca+bc+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(abc+c^2a+b^2c+bc^2+a^2b+ca^2+ab^2+abc\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left[ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)\right]\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Lại có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=\left(a-b+b-c+c-a\right)^2\)

\(-2\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(c-a\right)\left(a-b\right)\right]\)

\(=-2\left(ab-ca-b^2+bc+bc-ab-c^2+ca+ca-bc-a^2+ab\right)\)

\(=2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=2\left(a+b+c\right)^2-6\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\)\(P=\frac{\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)^2-6\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right]}{2\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right]}=\frac{a+b+c}{2}\)

Với mọi số tự nhiên a> 1 ta có:

 \(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{2\sqrt{a}}>\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=2\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}\right)=2\sqrt{a+1}-2\sqrt{a}\)

\(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{2\sqrt{a}}< \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}=2\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)=2\sqrt{a}-2\sqrt{a-1}\)

Áp dụng vào bài tập trên ta có:

\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{144}}\)

\(>2\sqrt{2}-2\sqrt{1}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{4}-2\sqrt{3}+...+2\sqrt{145}-2\sqrt{144}\)

\(=-2\sqrt{1}+2\sqrt{145}>2\left(\sqrt{145}-1\right)>2\left(\sqrt{144}-1\right)=22\)

=> S>22

\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{144}}\)

\(< 1+2\sqrt{2}-2\sqrt{1}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+...+2\sqrt{144}-2\sqrt{143}\)

\(=1-2\sqrt{1}+2\sqrt{144}=23\)

=> S<23

Vậy 22<S<23