A B C I O K M N J H E F D x

Gọi E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Tia AI cắt (O) tại D khác A. DE giao BC tại F.

Ta thấy \(\Delta\)MIN và \(\Delta\)AIE cân tại I có ^IMN = ^IAE (Vì MN // AE vuông góc OI) => ^MIN = ^AIE => I,N,E thẳng hàng.

=> MN là đường trung bình \(\Delta\)AIE => AE = 2.MN, IE = 2.IN 

Ta có: AE // IK (Cùng vuông góc OI) => ^KIE = ^IEA = ^IAE = ^BAE - ^BAD = ^BDx - ^DBC = ^BFD = ^KFE

=> Tứ giác KEIF nội tiếp => ^KEI = ^BFI     (1)

Mặt khác: \(\Delta\)DFC ~ \(\Delta\)DCE (g.g) => DC² = DF.DE => DI² = DF.DE => \(\Delta\)DFI ~ \(\Delta\)DIE (c.g.c)

=> ^DFI = ^DIE = 2.^IAE = 2.^BFD (Vì ^IAE = ^BFD)  => ^KIE = ^BFI  (2)

Từ (1) và (2) => ^KIE = ^KEI => \(\Delta\)IKE cân tại K. Từ đó: \(\Delta\)IKE ~ \(\Delta\)AIE (g.g) => IE² = IK.AE

Dễ thấy MJ là đường trung bình \(\Delta\)AIK => IK = 2.MJ. Kết hợp với AE = 2.MN (cmt)

Suy ra: IE² = 4.MJ.MN hay AI² = 4.MJ.MN => 4.MA² = 4.MJ.MN => MA² = MJ.MN => \(\Delta\)MJA ~ \(\Delta\)MAN (c.g.c)

=> ^MJA = ^MAN. Tương tự thì ^MJI = ^MIN => ^MJA + ^MJI = ^MAN + ^MIN => ^AJI = 180⁰ - ^ANI

Lại có: H là trực tâm \(\Delta\)AIN => ^AHI = 180⁰ - ^ANI. Do đó: ^AHI = ^AJI => Tứ giác AIHJ nội tiếp

=> ^AJH + ^AIH = 180⁰ <=> ^MJA + ^MJH + 90⁰ - ^IAN = ^MJH + 90⁰ = 180⁰ => ^MJH = 90⁰ 

=> JH vuông góc MN. Mà OI cũng vuông góc MN nên JH // OI (đpcm).

Lời giải

Gọi phương trình trên là (1)

Ta thấy 3y và 21 đều chia hết cho 3.Nên 2x chia hết cho 3

Suy ra x chia hết cho 3. (vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau)

Đặt x = 3t (t nguyên)  (1)

Ta có: \(2.3t+3y=21\Leftrightarrow2t+y=7\Rightarrow y=7-2t\) (2)

Từ (1) và (2),ta có: \(\hept{\begin{cases}x=3t\\y=7-2t\end{cases}}\)