Lời giải:

Đặt $\left(\frac{xy}{z};\frac{yz}{x};\frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{y}^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{array}$

Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ac=1$

Tìm min $S=a+b+c$

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: $(a+b+c{)}^2\ge 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c{)}^2}\ge \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}$

Vậy $S_{min}=\sqrt{3}\iff a=b=c=\frac{1}{3}\iff x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bạn bôi xanh câu hỏi của bạn rồi kéo thả lên chỗ tìm kiếm ; tìm 

Tìm GTNN của S=xy/z+yz/x+zx/y biết x^2+y^2+z^2=1 - H7.net

 OK !

Bạn chỉ cần bình phương PT x/a + y/b + z/c 

và chỉ ra ayz + bxz + cxy = 0 ở PT 2 là xong 

:D 

\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^2=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1-2\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1-2\cdot0=1(đpcm)\)

Ta có :\(y=\frac{x^2+2}{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow yx^2+yx+y=x^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(y-1\right)+yx+y-2=0\)(1)

*Xét y = 1 thì pt trở thành \(x-1=0\)

                                   \(\Leftrightarrow x=1\)

*Xét \(y\ne1\)thì pt (1) là pt bậc 2 ẩn x

Có \(\Delta=y^2-4\left(y-1\right)\left(y-2\right)\)

         \(=y^2-4\left(y^2-3y+2\right)\)

          \(=y^2-4y^2+12y-8\)

         \(=-3y^2+12y-8\)

Pt (1) có nghiệm khi \(\Delta\ge0\)

                         \(\Leftrightarrow-3y^2+12y-8\ge0\)

                         \(\Leftrightarrow\frac{6-2\sqrt{3}}{3}\le y\le\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\)

bạn icu... làm đúng rồi

Đề là tìm GTLN chứ nhỉ ?

Ta có : \(5x^2+8xy+5y^2=36\)

    \(\Leftrightarrow x^2+y^2+4\left(x^2+2xy+y^2\right)=36\)

    \(\Leftrightarrow M+4\left(x+y\right)^2=36\)

  \(\Leftrightarrow M=36-4\left(x+y\right)^2\le36\)

Dấu ''=" khi x = -y 

       Thế vào pt ban đầu sẽ tìm đc giá trị cụ thể của x ; y

Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4;....;n\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\)số,ta có:

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}}\le\frac{1+1+1+....+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}\)

\(=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt cho \(k=1;2;3;4;.....n\)rồi cộng lại,ta được:

\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[5]{\frac{5}{4}}+....+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)

\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)

Làm lại:))

Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4...;n\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\) số,ta có:

\(1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}\ge\left(k+1\right)\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\)

\(\Rightarrow\frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}\ge\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot....\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}\)

Mà \(\frac{1+1+....1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{1+1+1+....+1}{k+1}+\frac{\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt thay \(k=1;2;3;....;n\)rồi cộng lại,ta được:

\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[4]{\frac{5}{4}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)

\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)

Đề khắm vậy -_- a + b = 3 - c thì viết luôn thành a + b + c = 3 cho rồi .... bày đặt

Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\left(x;y;z>0\right)\)

\(VT=a^3+b^3+c^3+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge a^3+b^3+c^3+\frac{18}{a+b+c}\)

                                                                                      \(=a^3+b^3+c^3+6\)

Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số ta đc

\(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3.1.1}=3a\)

\(b^3+1+1\ge3b\)

\(c^3+1+1\ge3c\)

Cộng từng vế vào ta được

\(VT\ge a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)^2\)

Lại có : \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Phá ngoặc + chuyển vế -> tổng bình phương)

\(\Rightarrow VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

Vậy ....