A B C I E F O H K

Gọi IE,IF cắt đường tròn (O) lần thứ hai lần lượt tại H,K. Lúc đó ta có ^BIH = ^CIK = 90⁰

=> ^BIH và ^CIK chắn nửa đường tròn (O) => BH,CK là các đường kính của (O)

Xét bộ 6 điểm A,B,C,H,I,K cùng nằm trên (O): BH cắt CK tại O, IH cắt AC tại E, IK cắt AB tại F

Suy ra 3 điểm E,O,F thẳng hàng (ĐL Pascal). Hay EF đi qua O cố định (đpcm).

P/S: Định lí Pascal khá nổi tiếng, bạn có thể tham khảo cách chứng minh trong các sách nâng cao (NC&PT Toán 9 tập 2).

K M L Q R T I S U V G F E J x

Gọi I là tâm nội tiếp \(\Delta\)KLM. Ta sẽ chứng minh TI là phân giác ^LTM. Thật vây:

Kéo dài tia QT cho cắt \(\Omega\) tại điểm thứ hai là G. Đường thẳng MG và RQ cắt nhau ở V.

Do (S) tiếp xúc ngoài với \(\Omega\) nên Sđ(QT_(S) = Sđ(MG_\(\Omega\) => ^TRQ = ^TLG => ^TRQ = ^TMV

=> Tứ giác MVRT nội tiếp => ^MTV = ^MRV = ^KRQ = ^RQT hay ^GVT = ^GQV

=> \(\Delta\)GVT ~ \(\Delta\)GQV (g.g) => GV² = GT.GQ. Tương tự: GF² = GL² = GT,GQ => GV=GF=GL

 Kẻ tia đối Mx của ML thì ta có: ^xMV = ^GML = ^GFL = ^GLF (Vì GF=GL) = ^FMV => MV là phân giác ^FMx

Mặt khác: ^VFM = ^GFV - ^MFG = (180⁰ - ^FLM - 2.^MLG)/2 =  (180⁰ - ^FLG - ^MLG)/2 = (^FML + ^FLM)/2

=> ^VFM = ^VFK/2 => FV là phân giác ^MFK. Từ đó: V là tâm bàng tiếp ứng đỉnh L của \(\Delta\)FLM

=> LV là phân giác ^MLF hay ^KLM => L,I,V thẳng hàng => ^MIV = (^KML+KLM)/2 = 90⁰ - ^LKM/2 = ^MRV

Suy ra: Tứ giác MIRV nội tiếp. Kết hợp tứ giác MVRT nội tiếp => 5 điểm M,I,T,R,V cùng thuộc 1 đường tròn

=> Tứ giác MITV nội tiếp => ^MTI = ^MVI. Hoàn toàn tương tự, ta cũng có: ^LTI = ^LUI

Ta lại có: ^RVI = ^RMI = ^LMI => ^UVL = ^UML => Tứ giác LUVM nội tiếp => ^MVL = ^LUM hay ^MTI = ^LUI

Do đó: ^MTI = ^LTI. Vì vậy: TI là phân giác của ^LTM. Mà I cố định nên ta có ĐPCM.

b) tia phân giác góc BTC nha mọi người

help me 

Vì (a-b)² \(\ge\)0 \(\forall\)a,b\(\Rightarrow\)a²+b² \(\ge\)2ab. Mà ab=4\(\Rightarrow\)a²+b² \(\ge\)8.

\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{\left(a+b-2\right).8}{a+b}\)

Đặt t=a+b\(\Rightarrow\)t\(\ge\)4 (Do a+b \(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)= 4)

\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}\) = \(\frac{8t-16}{t}\)=\(8-\frac{16}{t}\) 

Vì t\(\ge\)4 \(\Rightarrow\)\(\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}=4\)\(\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\)\(\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)

\(\Rightarrow P\ge4.\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\a.b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)

Vậy P min = 4 \(\Leftrightarrow\)a=b=2.

ta co:\(y^2\sqrt{x-2}-2y+\sqrt[]{x-2}=0\)

xét denta:\(\Delta=b^2-4ac=4-4.\left(x-2\right)=4\left(3-x\right)\)

để có y thỏa mãn => denta >=0

=>\(3>=x\)

=>dpcm

bn dua vao day nay :https://olm.vn/hoi-dap/detail/105816822455.html

O S T A R K L

Ta có: ^LST = ^LRT = ^AKT hay ^LST = ^SKA. Do SA là tiếp tuyến của (O) nên ^ASK = ^TLS

Xét \(\Delta\)SAK và \(\Delta\)LTS: ^LST = ^SKA, ^ASK = ^TLS => \(\Delta\)SAK ~ \(\Delta\)LST (g.g) 

Suy ra: \(\frac{ST}{KA}=\frac{LS}{SK}\) hay \(\frac{SK}{2.KA}=\frac{LS}{2.TK}\) => \(\frac{SK}{KA}=\frac{LS}{TK}\)

Mà ^LSK = ^TKA (^LST = ^AKT) nên \(\Delta\)SLK ~ \(\Delta\)KTA (c.g.c) => ^LKS = ^TAK

Từ đó: ^TKL = ^TAK = 1/2.Sđ(TK_(RKT) => KL tiếp xúc với (RKT) (đpcm).