Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{y+z-x}{4+3-2}=\dfrac{y+z-x}{5}\)

\(\Rightarrow y+z-x=\dfrac{5}{2}x\)

Đồng thời:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{x-y+z}{2-3+4}=\dfrac{x-y+z}{3}\)

\(\Rightarrow x-y+z=\dfrac{3}{2}x\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{y+z-x}{x-y+z}=\dfrac{\dfrac{5}{2}x}{\dfrac{3}{2}x}=\dfrac{5}{3}\)

Lời giải:
Áp dụng TCDTSBN:
$\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{4}=\frac{z+3}{5}=\frac{x+1+y+2+z+3}{3+4+5}$

$=\frac{x+y+z+6}{12}=\frac{18+6}{12}=2$

$\Rightarrow x+1=3.2=6; y+2=4.2=8; z+3=5.2=10$

$\Rightarrow x=5; y=6; z=7$

Lời giải:
Áp dụng  BĐT Bunhiacopxky:

$(3a+4b)^2\leq (a^2+b^2)(3^2+4^2)=25$
$\Rightarrow -5\leq 3a+4b\leq 5$ (đpcm)

Ta thấy

\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2xy+y^2+2yz+z^2+2zx}\) 

(áp dụng BĐT \(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{p}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+p}\) với \(a,b,c,m,n,p>0\))

\(=1\) (dùng hằng đẳng thức \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\))

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x^2+2xy}=\dfrac{y}{y^2+2yz}=\dfrac{z}{z^2+2zx}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+2y}=\dfrac{1}{y+2z}=\dfrac{1}{z+2x}\)

\(\Leftrightarrow x+2y=y+2z=z+2x\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\)

Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

Lời giải:
Gọi $k$ là hệ số tỉ lệ của $y$ so với $x$. Ta có: $y=kx$. Thay $x_1,x_2,y_1,y_2$ thì:

$y_1=kx_1$

$y_2=kx_2$

$\Rightarrow y_1-y_2=kx_1-kx_2$

$\Rightarrow 4=k(x_1-x_2)=k.1=k$

$\Rightarrow y=kx=4x$

Gọi số quyển sách cả 3 lớp ủng hộ lần lượt là a ( quyển ), b ( quyển ), c ( quyển ),  \(a,b,c\inℕ^∗\) 

Ta có: \(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{8}\) và \(c-a=24\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{5}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{8}=\dfrac{c-a}{8-5}=\dfrac{24}{3}=8\)

Do đó:

\(\dfrac{a}{5}=8\Rightarrow a=5.8=40\)

\(\dfrac{b}{6}=8\Rightarrow b=6.8=48\)

\(\dfrac{c}{8}=8\Rightarrow c=8.8=64\)

Vậy số quyển sách cả 3 lớp đã ủng hộ lần lượt là 40 quyển, 48 quyển, 64 quyển.