Cho 3 số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh:

\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, J, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, tam giác AHB, tam giác AHC. Chứng minh AI vuông góc JK.

 Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF vuông góc với BC tại F.

a) Cho BC = 20cm, sinC = 0,6. Giải tam giác ABC;

b) Chứng minh rằng: AC² = 2CF.CB

c) Chứng minh: AF = BE.cosC

Tình cờ kiếm trên AoPS được bài này hơi hay đấy!:)) Ý tưởng của họ tuyệt vời quá, em chả hiểu nổi làm sao có đc ý tưởng như vậy:V Để xem mọi người có ý tưởng thế nào:))

Cho a, b là các số dương thỏa mãn \(ab\ge\frac{3}{2}\)

Chứng minh rằng: \(3\left(2a+b-3\right)\left(2b+a-3\right)\ge\left(a-b\right)^2+\frac{21}{20}\)

Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn:

\(2019\left(x-y\sqrt{2014}\right)-2018\left(y-z\sqrt{2014}\right)\)

và \(x^2+y^2+z^2\)

là số nguyên tố

Giải hệ\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{1+\frac{1}{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}\\\sqrt{xy}+\sqrt{y+1}+\sqrt{1-x}=1\end{cases}}\)

Giải hệ \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{1+\frac{1}{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}\\\sqrt{xy}+\sqrt{y+1}+\sqrt{1-x}=1\end{cases}}\)

 Cho tam giác ABC nhọn có góc A bằng 60 độ . CMR:BC^2=AB^2 AC^2−AB.AC          

Cho tam giác ABC nhọn biết góc A = 60 độ . Chứng minh rằng BC^2 = AB^2 +AC^2 - AB.AC

Cho tam giác ABC nhọn biết góc A = 60 độ . Chứng minh rằng BC^2 = AB^2 +AC^2 - AB.AC