một hình chữ nhật có chiều rộng là 1/3 mét, chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật đó.

\(\frac{x^2-\sqrt{2}}{x^4+x^2\sqrt{3}-x^2\sqrt{2}-\sqrt{6}}\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{2}}{x^2\left(x^2-\sqrt{2}\right)+\sqrt{3}\left(x^2-\sqrt{2}\right)}\)

\(=\frac{x^2-\sqrt{2}}{\left(x^2-\sqrt{2}\right)\left(x^2+\sqrt{3}\right)}\)

\(=\frac{1}{x^2+\sqrt{3}}\)

Vì \(x^2+\sqrt{3}\ge\sqrt{3}\)với \(\forall x\)\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+\sqrt{3}}\le\frac{1}{\sqrt{3}}\)\(\Leftrightarrow x=0\)

\(\Rightarrow\)Giá trị lớn nhất của biểu thức là \(\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=0\)

Ta chứng minh bất đẳng thức sau: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right).\)

Biến đổi tương đương ta có; \(x^2+2xy+y^2\le x^2+y^2+x^2+y^2\)

                                             \(\Leftrightarrow2xy\le x^2+y^2\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

                                               \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)

Vì bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.1=2\)( \(x^2+y^2=1\)theo giả thiết )

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}.\)

Và một cách nữa!

Đặt \(x+y=t\Rightarrow y=t-x\).

Khi đó \(1=x^2+\left(t-x\right)^2=2x^2+2tx+t^2\) (1)

Viết lại (1) thành phương trình bậc hai đối với x: \(2x^2+2tx+\left(t^2-1\right)=0\) (*)

(*) có nghiệm hay: \(\Delta'=t^2-2\left(t^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow t^2\le2\)

Hay \(-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}\) Hay ta có đpcm.

P/s: Đúng ko ạ?:3

#)Giải :

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được : 

\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\left(đpcm\right)\)

Ta thấy : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

Mà : \(x^2+y^2=1\)\(\Rightarrow2xy\le1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\le1+1\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow|x+y|\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)\(\left(đpcm\right)\)

\(x+5\sqrt{x}+6\)

\(=x+2\sqrt{x}+3\sqrt{x}+6\)

\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)+3\left(\sqrt{x}+2\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)\)

Đề sai thì phải nhé , phải là \(x\) chứ không phải \(x^2\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

áp dụng vào tính ta được:

biểu thức cần tính: \(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+......+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{1}\)

\(=10-1=9\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+..+\sqrt{100}\) \(-\sqrt{99}\)

\(=-\sqrt{1}+\sqrt{100}\)

\(=-1+10=9\)

chúc bn học tốt

A B C D E

Trong tam giác ABC, gọi giao điểm đường phân giác của góc ABC với cạnh AC là E.

Theo đề ra, ta có:

\(AE=\frac{30}{7}m;EC=\frac{40}{7}m.\)

Theo tính chất đường phân giác, ta có: \(\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{4\frac{2}{7}}{5\frac{5}{7}}=\frac{\frac{30}{7}}{\frac{40}{7}}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{3}=\frac{BC}{4}\Rightarrow\frac{AB^2}{9}=\frac{BC}{16}^2\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

Mà \(AC=AE+EC\) nên:

\(AB^2+BC^2=\left(AE+EC\right)^2\)

\(=\left(4\frac{2}{7}+5\frac{5}{7}\right)^2=\left(\frac{30}{7}+\frac{40}{7}\right)^2=10^2=100\)

Mà:

\(\frac{AB^2}{9}=\frac{BC^2}{16}=\frac{AB^2+BC^2}{9+16}=\frac{AB^2+BC^2}{25}=\frac{100}{25}=4\)

\(\Rightarrow AB^2=9.4=36\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\left(m\right)\)

\(\Rightarrow BC^2=16.4=64\Rightarrow BC=\sqrt{64}=8\left(m\right)\)

Vậy AB = CD = 6 (m)

BC = AD = 8 (m)

Áp dụng hệ thực giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông có:

\(AH^2=AB.BH\)

\(\Leftrightarrow20^2=BH\left(BH+9\right)\)

\(\Leftrightarrow BH^2+94H-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

Lại có: \(BC=BH+HC=16+9=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AH^2=BH.CH=16.9=12^2\)

\(\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 
AB^2=BH.BC 
<=>20^2=BH.(BH + 9) 
<=>BH^2 + 9BH-400=0 
=> BH=16cm 
Mà BC=BH + HC=16 + 9=25cm 
AH^2 = BH.HC = 16.9 = 12^2 
suy ra AH = 12cm.

Vậy AH=12cm.