\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đăngr thức xảy ra <=> a = b 

Cho a = b = c = 1 vào thì đề sai

Để ý phần mẫu \(2bc\le b^2+c^2\)

chắc hướng làm là như vậy @@

Gọi giao điểm của FN và CD là V.

Ta có : ABCD là hình bình hành 

=> AB//CD; BC//AD ; AB = DC ( t/c hình bình hành )

Mà D,C,M thẳng hàng => AB // CM

=> ABN = MCN ( 2 góc so le trong ) 

Do BN//DF ( N thuộc BC ; F thuộc AD ) và BD // FN ( gt ) 

=> BDFN  là hbh => BD = FN

Lại do EM//BD ;  DM // BE ( E thuộc AB;M thuộc DC)

=> BEMD là hbh => BD = EM 

=> FN = EM

Ta thấy : FN // BD ; EM // BD => FN // EM => FV // EM

\(\Rightarrow\frac{FV}{EM}=\frac{CV}{CM}\)( theo hệ quả định lí ta lét ) 

và CN // DF ( Vì N thuộc BC ; F thuộc AD )

\(\Rightarrow\frac{DV}{CV}=\frac{FV}{VN}\Leftrightarrow\frac{DV}{DC}=\frac{FV}{FN}\)( theo định lí ta lét )

Mà FN = EM ( cmt ) \(\Rightarrow\frac{FV}{FN}=\frac{FV}{EM}\Leftrightarrow\frac{CV}{CM}=\frac{DV}{DC}\Leftrightarrow\frac{CV}{DV}=\frac{CM}{DC}\)

Ta có : NV // BD ( gt ) \(\Rightarrow\frac{CN}{NB}=\frac{CV}{DV}\)( theo định lí ta lét ) 

          DC = AB ( cmt ) \(\Rightarrow\frac{CM}{AB}=\frac{CM}{DC}\)

\(\Rightarrow\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{AB}\left(and\right)...\widehat{MCN}=\widehat{ABN}\left(Cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MCN\approx\Delta ABN\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MNC}=\widehat{ANB}\)( Định nghĩa 2 tam giác đồng dạng )

mà \(\widehat{ANB}+\widehat{ANC}=180\)( 2 góc kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{MNC}+\widehat{ANC}=\widehat{AMN}=180\)

\(\Leftrightarrow A,M,N\)thẳng hàng ( ĐPCM )

Câu hỏi của phạm duy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath 

Vo TKHD copy link de tham khao loi giai nha :3

Ta có BĐT sau:

\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a\)

Sử dụng AM - GM ta dễ có được:

\(a^3+ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)

\(b^3+bc^2\ge2\sqrt{b^4c^2}=2b^2c\)

\(c^3+c^2a\ge2\sqrt{c^4a^2}=2c^2a\)

\(\Rightarrow BĐT\) đầu tiên đúng

Khi đó ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\Rightarrow P\ge a^2b+b^2c+c^2a+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Một vài đánh giá cơ bản rồi đặt ẩn phụ rồi xét đạo hàm phát ra nhé

@huybip5cc, bn giải kĩ ra giúp mk nhé, mk dốt lắm, nhìn vậy ko hiểu đâu ạ, mơn nh!

Chứng minh \(\frac{m^2}{p}+\frac{n^2}{q}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{p+q}\) với \(p,q>0\)(*) (dễ chứng minh bằng biến đổi tương đương).

Áp dụng BĐT (*) vào bài toán, ta có:

\(M=\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{b^3}{2017a+2016b}\)

\(=\frac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\frac{b^4}{2017ab+2016b^2}\)

\(=\frac{\left(a^2\right)^2}{2016a^2+2017ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{2017ab+2016b^2}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\)(1)

Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)nên \(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034.\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{2^2}{2016.2+4034.\frac{2}{2}}=\frac{2}{4033}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có \(M\ge\frac{2}{4033}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1.\)

Vậy \(M_{min}=\frac{2}{4033}\)khi \(a=b=1.\)

M=\(\left[\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{a\left(2016a+2017b\right)}{4033^2}\right]+\left[\frac{b^3}{2017a+2016b}+\frac{b\left(2017a+2016b\right)}{4033^2}\right]-\frac{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}{4033^2}\)

\(\ge\frac{2a^2}{4033}+\frac{2b^2}{4033}-\frac{2016\left(a^2+b^2\right)+4034\frac{a^2+b^2}{2}}{4033^2}=\frac{a^2+b^2}{4033}=\frac{2}{4033}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

Đặt h(x) = x⁴ + a.x³ + b.x² + c.x + d

h(1)  = 1 => 1 + a + b + c + d = 2

Tương tự với h(2), h(4),... ta được 4 phương trình bậc một 4 ẩn, dễ dàng giải ra kết quả.

xét g(x)=x²+1 có g(1)=2; g(2)=5; g(4)=17; g(-3)=10

ta có f(x)=h(x)-g(x)thì f(x) bậc 4 của hệ số x⁴ là 1 và f(1)=f(2)=f(4)=f(-3)

=> f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x+3)

=> f(x)=(x²-3x+2)(x²-x-12)=x⁴-4x³-7x²+34x-24

=> h(x)=x⁴-4x³-6x²+34x-25

+) \(A=x^8+x+1=\left(x^8-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)=x^2\left(x^6-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

Ta có : \(x^6-1=\left(x^3+1\right)\left(x^3-1\right)=\left(x^3+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

Thay vào A được : \(A=x^2\left(x^3+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left[x^2\left(x^3+1\right)\left(x-1\right)+1\right]=\left(x^2+x+1\right)\left(x^6-x^5+x^3-x^2+1\right)\)

Câu dưới tương tự...

x⁸ + x + 1 = x⁸ + x⁴ - x⁴ + x² - x² + x + 1

                  = ( x⁸ + x⁴ + 1 ) - ( x⁴ + x² + 1 ) + ( x² + x + 1 ) ( 1 )

trong đó :

x⁴ + x² + 1 = x² + 2x² - x² + 1

                  = ( x⁴ + 2x² + 1 ) - x²

                  = ( x² + 1 )² - x²

                  = ( x² - x + 1 )( x² + x + 1 ) ( 2 )

x⁸ + x⁴ + 1 = x⁸ + 2x⁴ - x⁴ + 1

                  = ( x⁸ + 2x⁴ + 1 ) - x⁴

                  = ( x⁴ + 1 ) - ( x² )²

                  = ( x⁴ - x² + 1 )( x⁴ + x² + 1 )

                  = ( x⁴ - x² + 1 )( x² - x + 1 )( x² + x + 1 )

Thế ( 2 ) , ( 3 ) vào ( 1 ) ta được :

x⁸ + x + 1 = ( x⁴ - x² + 1 )( x² - x + 1 )( x² + x + 1 ) - ( x² - x + 1 )( x² + x + 1 ) + ( x² + x + 1 )

                = ( x² + x + 1 )[ ( x⁴ - x² + 1 )( x² - x + 1 ) - ( x² - x + 1 ) + 1 )

                = ( x² + x + 1 )( x⁶ - x⁵ + x³ - x² + 1 ) 

vô tkhđ xem hình nhé  ( nguồn : mạng ) 

2x⁴-x³y+3x²y²-xy³+2y⁴=2x⁴-2x³y+x³y+2x²y²+2x²y²-x²y²+xy³-2xy³+2y⁴

=(2x⁴-2x³y+2x²y²)+(x³y+x²y²+xy³)+(2x²y²-2xy³+2y⁴)

=2x²(x²-xy+y²)+xy(x²-xy+y²)+2y²(x²-xy+y²)

=(x²-xy+y²)(2x²+xy+2y²)

vậy 2x⁴-x³y+3x²y²-xy³+2y⁴=(x²-xy+y²)(2x²+xy+2y²)

Ta có: \(g\left(x\right)=x^2-x\)có nghiệm x=0 và x=1 (vì \(x^2-x=x\left(x-1\right)\))

Để chứng minh \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\), ta sẽ chứng minh \(f\left(x\right)\)cũng có nghiệm x=0 và x=1.

Thay x=0 vào \(f\left(x\right)\):\(f\left(0\right)\)\(=\left(-1\right)^{2018}+1^{2018}-2=0\)

Thay x=1 vào \(f\left(x\right)\): \(f\left(1\right)=1^{2018}+1^{2018}-2=0\)

\(\Rightarrow\)x=0 và x=1 là hai nghiệm của \(f\left(x\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(g\left(x\right)=x^2-x\)

g(x) có nghiệm\(\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=0\end{cases}}\)

Để chứng minh \(f\left(x\right)=\left(x^2+x-1\right)^{2018}+\left(x^2-x+1\right)^{2018}-2\)chia hết cho \(g\left(x\right)=x^2-x\)thì ta chứng minh tất cả nghiệm của đa thức g(x) cũng là nghiệm của f(x) hay 1 và 0 là nghiệm của f(x) (1)

Thật vậy:\(f\left(x\right)=\left(x^2+x-1\right)^{2018}+\left(x^2-x+1\right)^{2018}-2\)

+) Thay x = 0 vào f(x), ta được: \(f\left(0\right)=\left(0^2+0-1\right)^{2018}+\left(0^2-0+1\right)^{2018}-2=1+1-2=0\)

+) Thay x = 1 vào f(x), ta được: \(f\left(1\right)=\left(1^2+1-1\right)^{2018}+\left(1^2-1+1\right)^{2018}-2=1+1-2=0\)

Qua hai kết quả trên ta suy ra f(x) có 2 nghiệm là 0 và 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)(đpcm)