A B D C I J

a) Xét \(\Delta IAD\)và \(\Delta IBC\)có:

\(\widehat{AID}=\widehat{BIC}\)(2góc đối đỉnh)

\(\widehat{ADI}=\widehat{BCI}\)(cùng nhìn cung AB)

\(\Rightarrow\Delta IAD\)đồng dạng với \(\Delta IBC\)

\(\Rightarrow\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID\)(ĐPCM)

b)Xét \(\Delta JAC\)và \(\Delta JBD\)có:

\(\widehat{J}\)là góc chung

\(\widehat{JCA}=\widehat{JDB}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta JAC\)đồng dạng với\(\Delta JBD\)

\(\Rightarrow\frac{JA}{JB}=\frac{JC}{JD}\Rightarrow JA.JD=JB.JC\)(ĐPCM)

Phá tung ngoặc 

\(A=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)

\(=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}\)

\(=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+4\)

\(\ge a^2+b^2+\frac{4}{a^2+b^2}+4\)

Đặt \(x=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Làm nốt

Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có

\(A=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=\frac{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2}{1}+\frac{\left(b+\frac{1}{b}\right)^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)

mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Mới thi hk1 bài nãy _._

Gọi \(A',B'\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên MN, H là trung điểm của MN

\(\Rightarrow OH\perp MN\)

Xét hình thang \(AA'B'B\)có OH là đường trung bình nên:

\(OH=\frac{1}{2}\left(AA'+BB'\right)=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

\(MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{R^2-\frac{3R^2}{4}}=\frac{R}{2}\)

\(\Rightarrow MN=2MH=R\)

do đó : \(S_{AKB}=\frac{1}{2}.AB.KP=R.KP\le\sqrt{3}R^2\)

Dấu "=" xảy ra <=> MN//AB hay \(\Delta AKB\)đều

b) bạn tự cm đc chứ ??? :))))

b,Tứ giác KMIN nội tiếp trong đường tròn đường kính KI, gọi Q là tâm đường tròn --> Q trung điểm KI ,

Vì MN = R , \(\Delta MNO\) đều

=> góc MAN = 30 độ

Trong tg vuông AKN có \(\widehat{MAN}\) = 30⁰ => góc MKN = 60 độ -

=>góc MQN = 120 độ, vẽ QR vuông góc MN => R trung điểm MN => MR = R/2, trong tg MQR nửa đều

=> QR = MQ/2 và MR = R/2

=> MQ = \(R.\frac{\sqrt{3}}{3}\) --> Bán kính đường tròn = MQ =\(R.\frac{\sqrt{3}}{3}\)