Có \(2x-2\sqrt{3x+1}-1\)

    \(=\left(2x+\frac{2}{3}\right)-2\sqrt{\left(2x+\frac{2}{3}\right).\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}-\frac{19}{6}\)

     \(=\left(\sqrt{2x+\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2-\frac{19}{6}\ge-\frac{19}{6}\forall x\ge-\frac{1}{3}\)

Dấu " =" xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\\x\ge-\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{5}{12}\)

    Vậy....

a ) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) và \(\sqrt{10}\)

Ta có : \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}\)\(=5+\sqrt{24}\)

            \(\left(\sqrt{10}\right)^2=10=5+5=5+\sqrt{25}\)

Vì \(\sqrt{24}< \sqrt{25}\Rightarrow5+\sqrt{24}< 5+\sqrt{25}\)hay \(\sqrt{2}+\sqrt{3}< \sqrt{10}\)

b ) \(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\) và \(2\sqrt{2004}\)

Ta có : \(\left(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\right)^2=2003+2005+2\sqrt{2003.2005}\)

                                                                \(=4008+2\sqrt{\left(2004-1\right)\left(2004+1\right)}\)

                                                                \(=4008+2\sqrt{2004^2-1}\)

            \(\left(2\sqrt{2004}\right)^2=4.2004=2.2004+2\sqrt{2004^2}\)\(=4008+2\sqrt{2004^2}\)

Vì \(4008+2\sqrt{2004^2-1}< 4008+2\sqrt{2004^2}\)=> \(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}< 2\sqrt{2004}\)

c ) \(\sqrt{5\sqrt{3}}\)và \(\sqrt{3\sqrt{5}}\)

Ta có : \(\sqrt{5\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{5^2.3}}=\sqrt{\sqrt{75}}\)

           \(\sqrt{3\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{3^2.5}}=\sqrt{\sqrt{45}}\)

Vì 75 > 45 => \(\sqrt{75}>\sqrt{45}\)hay \(\sqrt{5\sqrt{3}}>\sqrt{3\sqrt{5}}\)

gợi ý nhé 

a (=)  2x.( 4x²+1) = (3x+2). căn(3x+1)          ( x>=-1/3)

 đặt 2x =a 

     căn (3x+1) = b    (b>=0)

  ta có hpt sau            a.(a² +1)=b.(b²+1)    (1)

                                  3a-2b²= -2                (2)

   giải (1)   (=) a³ + a = b³ + b

                (=) (a-b).(a²+ab+b²+1) = 0 =) a=b  ( vì a²+ab+b²+1>0)

phần còn lại tự giải nhé

b (=)   (x+1).(x²+2x+2)=(x+2) . căn(x+1)         (x>=-1)   

(=) căn (x+1) . [căn(x+1) . (x²+2x+2) -x-2] = 0

=) x=-1

hay  căn(x+1) . (x²+2x+2) -x-2=0 

     cách 1 giải phổ thông ( chuyển vế rồi bình phương)

  cách 2 đặt ẩn phụ và lập hệ

 đặt căn(x+1)=a (a>=0) 

  =) a.[x(a²+1)+2] = a²+1   và a² - x =1

tự giải nhé

c,tạm thời chưa nghĩ ra 

a.Tam giác ADC vuông tại D :

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17\)(cm)

b.Xét tam giác ACD vuông tại D

Theo hệ thức lượng ta có:

DM.AC=AD.DC

DM=\(\frac{8\cdot15}{17}=\frac{120}{17}\)(cm)

c.Ta thấy tam giác ANM ~ tam giác INB

mà tam giác INB ~  tam giác ICM

vậy tam giác ANM ~ tam giác ICM

từ đó ta có được 

MN.MI=CM.AM

Mặt khác áp dụng htl trong tam giác ADC ta có: CM.AM=DI²

Vậy MN.MI=DI²

@.@

\(a,\)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2=3^2+4^2\Rightarrow BC=\sqrt{9+16}\)

\(\Rightarrow BC=5cm\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH=\frac{3^2}{5}=\frac{9}{5}cm\)

\(AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}\Rightarrow CH=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}cm\)

\(AH^2=\frac{9}{5}.\frac{16}{5}\Rightarrow AH^2=\frac{144}{25}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}cm\)

\(b,\)

\(BC=BH+CH\Rightarrow BC=9+16\Rightarrow BC=25cm\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow AB^2=9.25\Rightarrow AB=\sqrt{225}=15cm\)

\(AC^2=CH.BC\Rightarrow AC^2=16.25\Rightarrow AC=\sqrt{400}=20cm\)

\(AH^2=BH.CH\Rightarrow AH^2=9.16\Rightarrow AH=\sqrt{144}=12cm\)

Giả sử √7 là số hữu tỉ 
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0) 
Không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1 
=> 7 = a²/b² 
<=> a² = b7² 
=> a² ⋮ 7 
7 nguyên tố 
=> a ⋮ 7 
=> a² ⋮ 49 
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮ 7
=> b ⋮ 7 
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử) 
=> Giả sử sai 
=> √7 là số vô tỉ

Nguồn : https://lazi.vn/edu/exercise/chung-minh-7-la-so-vo-ti

Tham khảo lời giải tại :

Chứng minh √7 là số vô tỉ - Toán học Lớp 9 - Bài tập Toán học Lớp 9 - Giải bài tập Toán học Lớp 9 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục

< https://lazi.vn/edu/exercise/chung-minh-7-la-so-vo-ti >

_Tần vũ_

\(\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow4\sqrt{x}.2=1\left(\sqrt{x}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow8\sqrt{x}=x+2\sqrt{x}+1\)

\(\Rightarrow x-6\sqrt{x}+1=0\)

\(a=1;b=-6;c=1;b'=-3\)

\(\Delta'=\left(-3\right)^2-1.1=9-1=8>0\)

Phương trình có 2 nghiệp phân biệt 

\(x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{8}}{1}=3+2\sqrt{2}\)

\(x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{8}}{1}=3-2\sqrt{2}\)