MB² + BC² = AM² = a²

Bài1  : 

a, \(x^2-x-4y^2-2y=\left(x^2-4y^2\right)-\left(x+2y\right)\)

\(=\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)-\left(x+2y\right)=\left(x+2y\right)\left[x-2y-1\right]\)

b, \(x^2+5x-6=x^2+6x-x-6=x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)=\left(x+6\right)\left(x-1\right)\)

c, \(2x^2+x-3=2x^2+3x-2x-3=2x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)=\left(2x+3\right)\left(x-1\right)\)

Bài 2 : 

Ta có : \(x^2-5x+xy-5y=x^2+xy-5x-5y\)

\(=x\left(x+y\right)-5\left(x+y\right)=\left(x-5\right)\left(x+y\right)\)

Thay x = 2019 ; y = -2020 ta được : 

\(\left(2019-5\right)\left(2019-2020\right)=2014.\left(-1\right)=-2014\)

3x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2 x - 2 3x^4 - 6x^3 4x^3 + x^2 4x^3 - 8x^2 3x^3 + 4x^2 + 9x + 16 9x^2 - 2x + 2 9x^2 - 18x 16x + 2 16x - 32 34

Suy ra  \(\left(3x^4-2x^3+x^2-2x+2\right):\left(x-2\right)=3x^3+4x^2+9x+16\)dư 34

Vậy ta chọn B

             Bài làm :

Vận tốc trung bình của người đó là :

\(V_{tb}=\frac{S}{\frac{1}{4}S\div4+\frac{3}{4}S\div3}=\frac{1}{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}}=3,2\left(m\text{/}s\right)\)

1) Ta có: \(\frac{CE}{EA}=\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{EA}{CE}=\frac{5}{2}\Rightarrow\frac{EA}{CE+EA}=\frac{5}{2+5}\Rightarrow\frac{EA}{AC}=\frac{5}{7}\); \(\frac{AF}{FB}=\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{AF}{AF+FB}=\frac{2}{2+5}\Rightarrow\frac{AF}{AB}=\frac{2}{7}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AEF}}{S_{AFC}}=\frac{AE}{AC}=\frac{5}{7}\Rightarrow S_{AEF}=\frac{5}{7}S_{AFC}\)và \(\frac{S_{AFC}}{S_{ABC}}=\frac{AF}{AB}=\frac{2}{7}\Rightarrow S_{AFC}=\frac{2}{7}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{AEF}=\frac{5}{7}.\frac{2}{7}S_{ABC}=\frac{10}{49}S_{ABC}\)

Tương tự, ta có: \(S_{DEC}=\frac{10}{49}S_{ABC}\); \(S_{DFB}=\frac{10}{49}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{DEC}-S_{DFB}=S_{ABC}-\frac{30}{49}S_{ABC}=\frac{19}{49}S_{ABC}\)

2) Gọi N là trung điểm của DM

Kẻ \(EM//AB\left(M\in BC\right)\), gọi O là giao điểm của AM và EF, khi đó \(\frac{EM}{AB}=\frac{EC}{AC}=\frac{MC}{BC}\)(Thales)

Mặt khác từ giả thiết suy ra \(\frac{BD}{BC}=\frac{CE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Từ đó ta có được BD = MC, EM = AF

EM = AF và EM // AF nên tứ giác AFME là hình bình hành => O là trung điểm của EF và AM

Ta có: \(\hept{\begin{cases}BD=MC\left(cmt\right)\\DN=MN\end{cases}}\Rightarrow BN=NC\)

Tam giác ADM có hai trung tuyến AN và DO cắt nhau tại G nên G là trọng tâm => G thuộc AN và \(AG=\frac{2}{3}AN\), G thuộc DO và \(DG=\frac{2}{3}DO\)

\(\Delta ABC\)có G thuộc trung tuyến AN và \(AG=\frac{2}{3}AN\)nên G là trọng tâm của tam giác (1) 

\(\Delta DEF\)có G thuộc trung tuyến DO và \(DG=\frac{2}{3}DO\) nên G là trọng tâm của tam giác (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác ABC, DEF có cùng trọng tâm G (đpcm)