Phân tích Trước hết ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1. Quan sát Bất Đẳng Thức ta nhận thấy các dấu hiệu sử dụng Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki dạng phân thức, sử dụng kĩ thuật đánh giá mẫu

Bài giải: Suy nghĩ đầu tiên khi quan sát Bất Đẳng Thức đó là dấu hiệu áp dụng Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Như vậy khi đó ta được

\(\frac{a^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b^4}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)+\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

Như vậy ta cần chỉ ra được \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)+\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)+\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Để ý thấy khi khai triển mẫu thì xuất hiện đại lượng \(a^3+b^3+c^3\)và đánh giá đại lượng đó theo kiểu \(a^3+b^3+c^2\le?̸\)

rất phức tạp. Do đó đánh giá một cách trực tiếp như vậy có vẻ không đem lại hiệu quả. Như vậy để áp dụng hiểu quả ta cần biến đổi Bất Đẳng Thức về một dạng khác

Chú ý là tại các mẫu xuất hiện tích của 2 đại lượng do đó ta sẽ đưa một đại lượng lên trên tử số. Khi đó ta có các cách biến đổi là

\(\orbr{\begin{cases}\frac{a^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b+c}}\right)^2}{b^2+c^2}\\\frac{a^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)^2}{b+c}\end{cases}}\)

Để ý rẳng sau khi áp dụng thì ta thu được là tổng các mẫu đó, do đó cần chú ý đến giả thiết a+b+c=3 thì ta chọn cách biến đổi thứ hai. Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành

\(\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)^2}{b+c}+\frac{\left(\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}\right)^2}{a+c}+\frac{\left(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}{a+b}\ge\frac{3}{4}\)

Đến đây áp dụng BĐT Cauchy ta được \(\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}\right)^2}{b+c}+\frac{\left(\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}\right)^2}{a+c}+\frac{\left(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}{a+b}\ge\frac{\left(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

\(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Như vậy sau một số bước đánh giá ta đưa được về một bất đẳng thức có vẻ đơn giản hơn bất đẳng thức cần chứng minh và bất đẳng thức lúc này cũng có dấu hiệu của BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta được 

\(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2}}\)

Và ta cần chứng minh được \(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2}\le3\sqrt{2}\)tuy nhiên đánh giá này hoàn toàn sai vì \(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Như vậy để đảm bảo các đánh giá đùng chiều ta cần nâng lũy thừa của các phân số lên, do đó ta có đánh giá

\(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2\sqrt{b^2+c^2}+b^2\sqrt{a^2+c^2}+c^2\sqrt{a^2+b^2}}\)

Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta được

 \(a^2\sqrt{b^2+c^2}+b^2\sqrt{a^2+c^2}+c^2\sqrt{a^2+b^2}\)\(\le\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[a^2\left(b^2+c^2\right)+b^2\left(a^2+c^2\right)+c^2\left(a^2+b^2\right)\right]}\)\(=\sqrt{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)

Do đó ta được \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2\sqrt{b^2+c^2}+b^2\sqrt{c^2+a^2}+c^2\sqrt{a^2+b^2}}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}}\)

*Đang giải bấm nhầm gửi trả lời, làm tiếp*

Ta cần chỉ ra được \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Để ý thấy rằng

\(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)

\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta được điều phải chứng minh 

\(GH.BD=IG.CD=>\frac{GH}{IG}=\frac{Cd}{BD}\)

mặt khác , ta có \(HI//CD\)do cùng zuông góc zs GD

=>\(\frac{GI}{TC}=\frac{AI}{AC}=\frac{AH}{AB}=\frac{HG}{BM}=>\frac{Gh}{IG}=\frac{BT}{TC}\)

=>\(\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{TC}=>BD=TC\)

M là trung điểm của BC => M là trung  điểm của DT

=> OM//AT , OE//AT => O, M ,E thẳng hàng

Phương trình 2 :
2m - ym\(^2\)-2y = 1
(=)ym^2 + 2y = 2m -1 
(=)y(m^2 + 2)=2m -1
Mà m^2 + 2 >0
Suy ra y=\(\frac{2m-1 }{m^2+2}\)
x=2-my=\(\frac{m+4}{m^2+2}\)
Ta có x >0 ; y<0
Mà m^2 +2 > 0
Suy ra 
2m-1<0
m+4>0
Giải phương trình ta có
m<1/2(tm)
m>-4 (tm)
Vậy -4<m<1/2 Tìm số nguyên tự tìm

Bạn trả lời lộn câu ?

Sửa thành 2x + y = 4 cho dễ hơn tí nhé :Vvv

+ Xét phương trình 2x + y = 4 (1) <=> y = -2x + 4

Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát là  \(\left(x;-2x+4\right)\left(x\in R\right)\)

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) là đường thẳng (d) : y = -2x + 4.

Chọn x = 0 => y = 4

Chọn y = 0 => x = 2.

=> (d) đi qua hai điểm (0 ; 4) và (2 ; 0)

Phương trình tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ :

-2 -1 y -1 -2 0 x 1 2 3 4 1 2 3 4 (d) : y = 2x + 4 A

Cách để sự tồn tại của mỗi con người trở nên tốt đẹp –  ấy chính là sống sao cho có ý nghĩa, sống sao cho có ích. Vậy thế nào là sống cho ý nghĩa? Sống ý nghĩa là sống có ích, sống cao đẹp, cao thượng, biết làm nhiều việc tốt, việc thiện, biết hi sinh và cống hiến; sống cho mọi người và sống hết mình. Quả đúng như vậy, ý nghĩa cuộc sống hình thành trên vô vàn phương diện khác nhau. Sống có ích chính là lối sống tích cực phù hợp với thời đại; làm đẹp cho cuộc sống bản thân, sống hòa hợp với mọi người xung quanh, được nhiều người thừa nhận. Sống có ích còn phải có những hành động, tình cảm, việc làm thiết thực đem lại hiệu quả cho cá nhân cũng như cho cộng đồng. Sống có ích là khi chúng ta biết nghĩ đến người khác, biết hi sinh những cái nhỏ nhặt, và biết rộng mở vòng tay để có chia sẻ với những mảnh đời bất hạnh hơn chúng ta và biết cách đối nhân xử thế với mọi người, giúp đỡ những người đang hoạn nạn, lắng nghe và chia sẻ với những mảnh đời bất hạnh…. Sống có ích là khi vấp ngã  phải biết đứng dậy, thành công không tự mãn. Ai cũng đều có thể sống có ích, nếu như thế thì xã hội này sẽ tốt đẹp biết bao, sẽ không còn những xấu xa, sẽ không còn những mảng tối trong cuộc sống. Vì thế chúng ta hãy làm nên sự khác biệt, hãy biết sống có ích mỗi ngày, biết phê phán đấu tranh với cái ác, cái xấu để bảo vệ lẽ phải. Hãy là một tấm gương, hãy tìm một mục đích sống của mình để sống có ích từng ngày từng giờ, đừng lãng phí một thời gian nào cả và chúng ta sẽ giúp thế giới trở thành một ngôi nhà tốt đẹp cho mọi người. Sự thật là mọi thứ tồn tại trên đời này đều có nguyên do của nó. Bông hoa tồn tại để góp hương sắc, làm đẹp cho đời. Con ong tồn tại để dâng cho đời những chén mật ngọt ngon. Còn con người, tồn tại để làm cuộc sống của chính mình và mọi người xung quanh trở nên ý nghĩa. Kết lại, chúng ta “phải sống sao cho khỏi xót xa, ân hận vì những năm tháng sống hoài sống phí, cho khỏi hổ thẹn vì những dĩ vãng đớn hèn của mình”

Một người tốt là người có đủ những phẩm chất cao đẹp cùng một lối tư duy nhạy bén. Để làm người tài giỏi vốn đã khó, nhưng làm người sống có ích còn khó hơn. Sống có ích là lối sống có ước mơ, hoài bão, biết vươn lên trong cuộc sống và chan hòa, yêu thương, giúp đỡ những người xung quanh, có ý thức cống hiến cho cuộc đời. Người sống có ích là người trước hết biết đặt ra mục tiêu cho bản thân mình và cố gắng, phấn đấu hoàn thành mục tiêu đó. Bên cạnh đó, họ cũng là những người luôn sẵn sàng giúp đỡ những người xung quanh, không màng đến lợi ích cá nhân của bản thân. Họ luôn tâm niệm sẽ cống hiến năng lực, trí tuệ của bản thân mình có sự nghiệp phát triển nước nhà. Lối sống theo lẽ phải, sống có ích này mang lại cho chúng ta nhiều lợi ích, ý nghĩa tốt đẹp. Khi sống có ích, ta sẽ được mọi người yêu quý, tôn trọng, học tập và noi theo khiến cuộc sống của ta trở nên tốt đẹp hơn, những thông điệp tích cực sẽ được truyền đi ra xa hơn. Con người là gốc rễ của xã hội, của đất nước, sống có ích giúp cho xã hội, cho đất nước ngày càng phát triển phồn thịnh hơn. Bên cạnh đó, một mặt tiêu cực chúng ta không thể không nhắc đến là trong cuộc sống này vẫn còn có những người có thói ích kỉ, sống chỉ biết đến bản thân mình, không cố gắng vươn lên, không biết san sẻ với người khác,… những người này nếu không sửa đổi sẽ bị xã hội lên án và chỉ trích. Thời gian trôi đi sẽ không lấy lại được, ai rồi cũng sẽ rời xa cõi đời này, chúng ta hãy sống một cuộc đời trọn vẹn để khi nhìn lại thấy bản thân mình đã sống thật có ích và không có điều gì phải hối tiếc.