11 . CHO MIK NHA

\(\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)^2-\sqrt{120}\)

\(=\sqrt{6^2}+2\sqrt{5}\sqrt{6}+\sqrt{5^2}-2\sqrt{30}\)

\(=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}\)

\(=11\)

\(\left(x-1\right)\left(x^2+2x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2+2x-3=0\end{cases}}\)      \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0+1=1\\x^2+2x=0+3=3\end{cases}}\)                      \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2+2x=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x\left(x+2\right)=3\end{cases}}\)        \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\\end{cases}}\) hoặc x = - 3 , ( x + 2 ) = -1 hoặc x = 1 , ( x + 2 ) = 3[ Cái này viết tiếp trong ô đó nha ) 

\(\Rightarrow\text{ }x\in\left\{-3\text{ ; }1\right\}\)

TH1 x-1=0=>x=1

TH2 x²+2x-3=0=>x²+2x+1-4=0=>(x+1)²=4=>x=1;-3

Vậy x=1;-3

bất đẳng thức schur bậc 3,dễ mà,c/m cũng dễ nữa,tự tra đi.gợi ý này:giả sử a>b>c nhé

Thử cách của em xem:)

Do vai trò bình đẳng giữa a, b, c ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\).

BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{b+c-a}{2}\right)\left(b-c\right)^2+\left(\frac{c+a-b}{2}\right)\left(c-a\right)^2+\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Đặt \(\frac{b+c-a}{2}=S_a;\frac{c+a-b}{2}=S_b;\frac{a+b-c}{2}=S_c\) thì:

\(S_b;S_c\ge0\Rightarrow S_b+S_c\ge0\left(1\right)\).  và BĐT trở thành \(\Leftrightarrow S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(c-a\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow S_a\left(b-c\right)^2+S_b\left(b-c+a-b\right)^2+S_c\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(S_a+S_b\right)\left(b-c\right)^2+\left(S_c+S_b\right)\left(a-b\right)^2+2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)

Do \(a\ge b\ge c\)và S_b > 0 nên \(2S_b\left(b-c\right)\left(a-b\right)\ge0\). Theo (1) thì S_b + S_c > 0. Kết hợp với (*), ta cần chứng minh: 

\(\left(S_a+S_b\right)\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow S_a+S_b\ge0\).

\(\Leftrightarrow\frac{b+c-a}{2}+\frac{c+a-b}{2}\ge0\Leftrightarrow c\ge0\) (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\text{hoặc }a=b;c=0\text{ và các hoán vị của nó.}\)

Sai thì em chịu nha!

<=>\(\left(\sqrt{\sqrt{2}+1}-\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)^2=\left(\sqrt{2\left(\sqrt{2}-1\right)}\right)^2\)

<=>\(\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1-2\left(\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}\right)=2\left(\sqrt{2}-1\right)\)

<=>\(2\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}-2\left(dpcm\right)\)

¬¬¬¬¬¬hoc tot ¬¬¬¬¬¬¬

Ta có: \(A+B+2\sqrt{AB}\ge A+B\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)^2\ge\left(\sqrt{A+B}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{A}+\sqrt{B}\ge\sqrt{A+B}\)(*)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: AB=0

Áp dụng BĐT (*), ta có:

B=\(\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\ge\sqrt{x-4+y-3}\)

\(\Rightarrow B\ge\sqrt{8}\)

\(\Rightarrow B\ge2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\left(x-4\right)\left(y-3\right)=0\\x+y=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x=4\\y=11\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x=12\\y=3\end{cases}}\end{cases}}\)Bạn tự giải x,y theo phương trình tích ở trên rồi thế xuống dưới, ra kết quả là x=4 ,y=1 hoặc x=2,y=3. Tại máy mình bị lỗi nên không giải tiếp được chỉ bám chữ được thôi. Bạn thông cảm! Mong bài này sẽ giúp ích cho bạn.