Phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn m 

<=> \(\hept{\begin{cases}\Delta=1^2-4m>0\\x_1+x_2>2m\\\left(x_1-m\right)\left(x_2-m\right)>0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}m< \frac{1}{4}\\-1>2m\\x_1x_2-m\left(x_1+x_2\right)+m^2>0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}m< \frac{1}{4}\\m< -\frac{1}{2}\\m+m+m^2>0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}m< -\frac{1}{2}\\m>0hoac< -2\end{cases}}\)

<=> m < -2.

\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\2x+my=5\end{cases}}\)

a, Với \(m=3\) ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\2x+3y=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2-y\\2\left(2-y\right)+3y=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

b, \(\hept{\begin{cases}x+y=2\\2x+my=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+2y=4\left(1\right)\\2x+my=5\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta lấy \(\left(1\right)-\left(2\right)\) ta được: \(y\left(2-m\right)=-1\)

Với \(m\ne2\) hpt có nghiệm duy nhất là: \(\hept{\begin{cases}y=-\frac{1}{2-m}\\x=2-\frac{-1}{2-m}=\frac{5-2m}{2-m}\end{cases}}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}y>0\\x< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{1}{2-m}>0\\\frac{5-2m}{2-m}< 0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow2-m< 0\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}5-2m>0.hoac.2-m< 0\\5-2m< 0.hoac.2-m>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow m>2\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}2< m< \frac{5}{2}\\m< 2,m>\frac{5}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow2< m< \frac{5}{2}\)

Vậy .............

Bạn Băng !

<=> \(2-m< 0\) và \(\orbr{\begin{cases}...\\...\end{cases}}\)

 ( không phải là " hoặc " )

\(1,y=\left(m-2\right)x+3+1\)      \(\left(d\right)\)

\(\left(d\right)\) đi qua \(A\left(1;-1\right)\)

\(\Rightarrow-1=m-2+m+1\)

\(\Rightarrow m=0\)

\(2,y=1-3x\left(d'\right)\)

Để: \(\left(d\right)//\left(d'\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=a'\\b\ne b'\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-2=-3\\m+1\ne1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=-1\\m\ne0\end{cases}}\)

\(3,\) Gọi \(A\) là giao điểm của \(\left(d\right)\) với \(Ox\)

\(B\) là giao điểm của \(\left(d\right)\) với \(Oy\)

Tọa độ \(A:\hept{\begin{cases}\left(m-2\right)x+m+1=0\\y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{m+1}{2-m}\\y=0\end{cases}}\)

Tọa độ \(B:\hept{\begin{cases}x=0\\m+1=y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=m+1\end{cases}}\)

Độ dài \(OA:\sqrt{\left(\frac{m+1}{2-m}\right)^2}=|\frac{m+1}{2-m}|\)

Độ dài \(OB:\sqrt{\left(m+1\right)^2}=|m+1|\)

Kẻ \(OH\perp AB\) ta được: \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}\) 

\(\Leftrightarrow1=\frac{1}{\left(\frac{m+1}{2-m}\right)^2}+\frac{1}{\left(m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow1=\frac{\left(2-m\right)^2}{\left(m+1\right)^2}+\frac{1}{\left(m+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=m^2-4m+4+1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1=m^2-4m+5\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\)

\(x^4+2x^3+2x^2+x+3\)

\(\left(x^2+x+2\right)^2=x^4+5x^3+4x+4>x^4+2x^3+2x^2+x+3>x^4+2x^3+x^2\)

\(=\left(x^2+x\right)^2\)

\(\Rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy.......

\(\sqrt{2}\left(x^2+8\right)=5\sqrt{x^2+8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^2+8\right)}=5\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+8\right)=25\)

\(\Leftrightarrow2x^2=9\Leftrightarrow x^2=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Hok tốt

\(\sqrt{2}\left(x^2+8\right)=5\sqrt{x^2+8}\)

\(\Rightarrow\left[\sqrt{2}\left(x^2+8\right)\right]^2=\left(5\sqrt{x^2+8}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^4+16x^2+64\right)=25\left(x^2+8\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^4+32x^2+128=25x^2+200\)

\(\Leftrightarrow2x^4+7x^2-72=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+\frac{7}{2}x^2-36=0\)

\(\Leftrightarrow x^4+2.x^2.\frac{7}{4}+\frac{49}{16}-\frac{49}{16}-36=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{7}{4}\right)^2-\frac{625}{16}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{7}{4}+\frac{25}{4}\right)\left(x^2+\frac{7}{4}-\frac{25}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+8\right)\left(x^2-\frac{9}{2}\right)=0\left(1\right)\)

Ta thấy \(x^2\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+8\ge8>0;\forall x\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x^2-\frac{9}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Vậy tập hợp nghiệm của pt \(S=\left\{\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{-3}{\sqrt{2}}\right\}\)