IC vuông góc IK

IC vg góc IK

4cm

4 cm

 Điểm G cách trung điểm M của BC (cố định) một khoảng cố định bằng \dfrac{m}{3}3m​.

Kết luận: quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC là đường tròn (G , \dfrac{m}{3})(G,3m​) trừ các giao điểm của đường tròn với BC (do G không thể thuộc BC).

quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC là đường tròn (G , \dfrac{m}{3})(G,3m​) trừ các giao điểm của đường tròn với BC (do G không thể thuộc BC).

Cần tìm điểm cố định sao cho C cách điểm đó một khoảng cố định.

Dựng điểm D đối xứng với B qua A, khi đó D là điểm cố định, AM là đường trung bình của tam giác BCD, CD = 2AM = 2m (cố định)

Kết luận: Quỹ tích điểm C là đường tròn (D ; 2m), trừ các giao điểm của nó với đường thẳng AB (khi đó tam giác ABC trở thành đoạn thẳng)

Dựng điểm D đối xứng với B qua A, khi đó D là điểm cố định, AM là đường trung bình của tam giác BCD, CD = 2AM = 2m (cố định)

Quỹ tích điểm C là đường tròn (D ; 2m), trừ các giao điểm của nó với đường thẳng AB (khi đó tam giác ABC trở thành đoạn thẳng)

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=23​.

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3BE=BC .cot60∘=363​​=23​.

DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất. Điều đó xảy ra khi AM là đường cao ΔABC.
                           

a) Vì \widehat{AEM}=\widehat{AFM}={90}^\circAEM=AFM=90∘ nên A, E, M, F thuộc đường tròn tâm I đường kính AM \Rightarrow\ \widehat{EIF}=2\widehat{EAF}={120}^\circ⇒ EIF=2EAF=120∘ (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp chắn cung \stackrel\frown{EF}EF⌢).

b) Hạ $IH\perp EF$, ta có IE=IF=\frac{1}{2}AMIE=IF=21​AM nên $\Delta IEF$ cân $\Rightarrow HE=HF$.

Ta lại có: EH=EI.\sin{\widehat{EIH}}=\frac{1}{2}AM.\sin{{60}^\circ}EH=EI.sinEIH=21​AM.sin60∘ (vì \widehat{EIH}=\widehat{FIH}=\frac{1}{2}\widehat{EIF}={60}^\circEIH=FIH=21​EIF=60∘).

Suy ra EH=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{4}\Rightarrow EF=2EH=\frac{a\sqrt3}{2}EH=2a​.23​​=4a3​​⇒EF=2EH=2a3​​.

c) EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất $\iff$ AM $\perp$ BC.

Trả lời:

Tam giác ABC có:

Sin B = AC/BC (hệ thức lượng)

=> AC = Sin B.BC = Sin 45⁰ . 10 = 5√2 (cm)

 Sin C = AB/BC

=> AB = Sin 30⁰ . 10 = 5 (cm)

Ta có tam giác ABC có: góc A + góc B + góc C = 180⁰ 

=> góc A = 180⁰ - 45⁰ - 30⁰ = 105⁰

Tam giác ABC có: Sin B = $\frac{AC}{BC}$ (hệ thức lượng) => AC = Sin B.BC = Sin 45⁰ . 10 = $5\sqrt{2}$ (cm)

 Sin C = $\frac{AB}{BC}$ (hệ thức lượng) => AB = Sin 30⁰ . 10 = 5 (cm)

Ta có tam giác ABC có: góc A + góc B + góc C = 180⁰ (định lý)

=> góc A = 180⁰ - 45⁰ - 30⁰ = 105⁰

DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất. Điều đó xảy ra khi AM là đường cao ΔABC.