1 . Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm tiếp trong 6 giờ (người thứ nhất nghỉ) thì xây được 3/4 bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì xây xong bức tường trong bao lâu? 

2 . 

ôCh tam giác ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC. Kẻ MH⊥⊥BC, MK⊥⊥AC, MI⊥⊥AB.

1. Chứng minh rằng: MH+MK+MI=h (h là chiều cao của tam giác ABC).

2. Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A', B', C'.

Chứng minh rằng: MA′/OA′+MB′/OB′+MC′/OC′=3

Bài 1 : Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm chính giữa cung BC. M thuộc BC. Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC, MN vuông góc với EF.

a) CM: 5 điểm A, E, O, M, F thuộc một đường tròn.

b) CM: BE.BA = BO.BM

c) Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A cắt MF tại K. CM BE = KF

d) Khi M di chuyển trên BC, chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2 : 

Cho a,b là các số nguyên dương thay đổi và thỏa mãn

\(\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  \(P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}\)

1 . Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó (M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn người ta vẽ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh rằng: IA^2 = IM.IB

b) Chứng minh tam giác BAF cân

c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi 

2 . Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh 46ⁿ +296.13ⁿ chi hết cho 1947

3 . Cho 3 số dương x , y , z thỏa mãn x+y+z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

1 . Cho hai đường thẳng (d1):mx+(m-2)y+m+2=0 và (d2):(2-m)x+my-m-2=0
a) Tìm điểm cố định mà (d1) luôn đi qua và điểm cố định mà (d2) luôn đi qua
b) Chứng minh hai đường thẳng (d1) ,(d2) luôn cắt nhau tại một điểm I và khi m thay
đổi thì điểm I luôn thuộc một đường tròn cố định.

2 . Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn a > 1, b > 1, c > 1, d > 1. Chứng minh

 \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge16\)

Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Gọi C là một điểm di
động trên (O) sao cho C khác A, C khác B và C không nằm chính giữa cung AB . Vẽ
đường kính CD của (O). Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A . Hai đường thẳng BC, BD
cắt d tại E, F.
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn
2) Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE .
Chứng minh : AB = 2.IM
3) Gọi H là trực tâm tam giác DEF . Chứng minh khi điểm C di động trên (O) thì điểm H luôn
chạy trên một đường tròn cố định.