Áp dụng BĐT Cosi cho 2 sô dương ta có: \(x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)

Tương tự: \(y^2+zx\ge2y\sqrt{zx};z^2+xy\ge2z\sqrt{xy}\)

Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được:

\(\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{zx}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\le\frac{x+y+z}{xyz}\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\right)\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

x²-(m+4).x+4m=0

1) Khi m=-1

=> x²-3x-4=0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-1\end{cases}}\)

Xét \(\Delta=\left(m+4\right)^2-4.4m=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2>0\)

\(\Rightarrow x\ne4\)

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m+4\\x_1x_2=4m\end{cases}}\)

do đó

\(x_1^2+\left(m+4\right)x_2=16\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=16\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m+16-4m=16\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=-4\end{cases}}\)

bn vào câu hỏi tuong tự có đó

cảm ơn bạn

đăng 1 lần thôi :P

Đề nhầm rồi

Bạn ơi mk chắc chắn vs bn là đề ko nhầm nha

a²+b²+c²=(a+b+c)²<=> ab+bc+ca=0

\(\Rightarrow S=\frac{a^2}{a^2+bc-\left(ab+ca\right)}+\frac{b^2}{b^2+ac-\left(ab+bc\right)}+\frac{c^2}{c^2+ab-\left(bc+ca\right)}\)

\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}-\frac{c^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)

M  tương tự

\(M=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(M\ge1-3.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

\(M=\frac{\left(4a-2b-1\right)^2}{16}+\frac{3\left(2b-1\right)^2}{16}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Hoặc một cách phân tích khác:

\(M=\frac{\left(a+1\right)\left(2a-1\right)^2}{4}+\frac{\left(b+1\right)\left(2b-1\right)^2}{4}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)

a) Ta có: \(a=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

Đặt \(n^2+3n+1=t\)(1)

Khi đó: \(a=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2\)

\(\Rightarrow\) a là số chính phương

b) Để a=121 thì \(t^2=121\)\(\Rightarrow t=\pm11\)

+ Với t=11 thì (1) \(\Leftrightarrow n^2+3n+1=11\Leftrightarrow n^2+3n-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(n+5\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=-5\end{cases}}\)

+ Với n=-11 thì (1)\(\Leftrightarrow n^2+3n+1=-11\Leftrightarrow n^2+3n+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4}=0\) ( vô lý)

Do đó, pt vo nghiệm

Vậy để a=121 thì n =2 hoặc n=-5

\(a,M=6+\frac{2x}{x^2+1}\)

ÁP dụng bđt AM-GM ta có

\(M\le6+\frac{2x}{2x}=7\)

Dấu "=" xảy ra khi x=1

b,\(A=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)

\(=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)(bđt Cauchy-Schwarz)

mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c