a) Xét 2 tam giác vuông AMB và ANC có: \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\) ( do AD là tia phân giác ^A ) 

\(\Rightarrow\)\(\Delta AMB~\Delta ANC\) ( g-g ) \(\Rightarrow\)\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\)

b) Theo bđt 3 điểm ta có: \(\hept{\begin{cases}BM+DM\le BD\\CN+DN\le CD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(BM+CN+DM+DN\le BC\)

\(\Rightarrow\)\(BM+CN\le BC\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}M\in BD,AD\\N\in CD,AD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M\equiv N\equiv D\)\(\Rightarrow\)\(BD\perp AD;CD\perp AD\) hay tam giác ABC có AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao => tam giác ABC cân tại A 

c) Có: \(\sin\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{BC}{2\sqrt{AB.AC}}\)

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC cân tại A 

=\(\sqrt[3]{64.2}+\sqrt[3]{-125.2}-7\sqrt[3]{8.2}\)

= \(4\sqrt[3]{2}-5\sqrt[3]{2}-14\sqrt[3]{2}=-15\sqrt[3]{2}\)

A B C E D F

                                                                               Xét \(\Delta ABF\)có:

                                                                                  \(CD//BF\left(gt\right)\)

                                                                                   \(D\varepsilon AB;E\varepsilon AF\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{AF}=\frac{AD}{AB}\)(Định lý Ta-let)

\(\Rightarrow AC.AB=AF.AD\)

mà \(AB=AC\)(vì \(\Delta ABC\)cân tại A)

\(\Rightarrow AC^2=AF.AD\)(1)

Vì \(BE\perp AC\)(gt) \(\Rightarrow\Delta AEB\)vuông tại E

Vì \(CD\perp AB\)(gt) \(\Rightarrow\Delta ACD\)vuông tại D

                                                Xét  \(\Delta AEB\)vuông tại E và  \(\Delta ACD\)vuông tại D có

                                                                     \(\widehat{BAC}\)chung

                                                                     \(AB=AC\)(cmt)

\(\Rightarrow\Delta AEB=\Delta ADB\)(TH: cạnh huyền,góc nhọn)

\(\Rightarrow AE=AD\)(2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) đpcm

Đây là cách giải của mình ạ

\(\text{Hình bạn tự vẽ ^_^}\)

\(\text{a)Ta có: }AB^2=HB.BC=1,8.5=9\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{9}=3\left(\text{cm}\right)\)

\(\text{Lại có: }HC=BC-BH=5-1,8=3,2\left(\text{cm}\right)\)

\(\text{và: }AH^2=BH.CH=1,8.3,2=5,76\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{5,76}=2,4\left(\text{cm}\right)\)

\(\text{b) vì M là trung điểm BC nên }BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}=2,5\left(\text{cm}\right)\)

\(\text{Ta lại có: }AC^2=CH.BC=3,2.5=16\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{16}=4\left(\text{cm}\right)\)

\(\text{Xét }\Delta DMC\text{ và }\Delta BAC\text{ có:}\)

\(\widehat{DMC}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\widehat{C}\text{ là góc chung}\)

\(\text{ }\Rightarrow\Delta DMC\text{ đồng dạng với }\Delta BAC\)

\(\Rightarrow\frac{DM}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{CM}{AC}=\frac{2,5}{4}=0,625\left(\text{Tỉ số đồng dạng}\right)\)

\(\text{Vậy }\frac{S_{DMC}}{S_{BAC}}=\left(0,625\right)^2=\frac{25}{64}\)

a, \(AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{1,8\cdot5}=3\)

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-1,8^2}=2,4\)

b, \(\frac{S_{ABC}}{S_{DMC}}=\frac{MC^2}{BC^2}=\frac{1}{4}\)

c,\(\Delta ABC~\Delta MDC\Rightarrow\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{MC}\Rightarrow AC\cdot CD=\frac{1}{2}BC^2\)

d,Cái này bạn tự tính nhá

Mk hơi lười nên làm hơi tắt có j thông cảm mk nha

Để bài toán trông quen thuộc hơn:

Đặt a =x; \(\frac{1}{b}=y\) thì bài toán trở thành:

Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y =1. CMR: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\).

-------------------------------------------------------------------------

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(VT\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2=\frac{25}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

P/s: Is it true?

Xí, hôm qua buồn ngủ quá làm thiếu:V

\(VT\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2=\frac{25}{2}\)(đpcm)