b) Do AB//CD nên áp dụng hệ quả và định lý Talet ta có:

\(\frac{AO}{OC}=\frac{OB}{OD}\)hay \(\frac{DO}{DB}=\frac{OC}{AC}\)

Xét tam giác ABD có OM//AB nên \(\frac{OM}{AB}=\frac{DO}{DB}\)

Tương tự \(\frac{ON}{AB}=\frac{CO}{CA}\)

Vậy nên \(\frac{OM}{AB}=\frac{ON}{AB}\)\(\Rightarrow OM=ON\left(đpcm\right)\)

Nguồn: Cách của cô Huyền

A B C D O M N

Không biết c/m nên chỉ vẽ hình thoiii ạ

Nếu hình sai thì mong mỏi người sửa lại giúp ạ 

Chúc bạn học tốt ^^

Bài 1 : 

a) x³y³ + x²y² + 4 

= (xy)³ + ( xy)² + 4 

= ( xy )³ + 2( xy )² - (xy)² -  2xy + 2xy + 4 

= (xy)² ( xy + 3 ) - xy (xy+22 ) + 2 ( xy+ 2 ) 

= ( xy + 2 ) [ ( xy)² -xy + 2 ]

b) 2x⁴ -5x³ + 2x² - x + 2 

= 2x⁴ - 4x³ -x³ + 2x² - x + 2 

= 2x³ (x- 2 ) - x² ( x - 2 ) -  ( x - 2 ) 

= ( x -2 ) . ( 2x³ -x² -1) 

= (x-2 ) . ( 2x³ -2x² + x² - x + x - 1 ) 

 = ( x- 2 ) . [ 2x² . ( x-1 ) + x . ( x-1 ) + ( x- 1 ) ] 

= ( x- 2 ) . ( x- 1 ) . ( 2x² + x + 1 ) 

Phần còn lại bạn làm tương tự  

Bài 2 :

Vì f(x) chia cho x - 3 thì dư 2 => f(3) = 2 

f(x) chia cho x + 4 thì dư 9 => f(-4) = 9 

f(x) chia cho ( x² + x - 12 ) được thương là ( x² + 3 ) và còn dư 

=> f ( x ) =( x² + 3 ) ( x² + x -12 ) + ( cx + d ) = ( x² + 3 . ( x-3 ) . ( x + 4 ) + ( cx + d ) 

Ta có : \(\hept{\begin{cases}f\left(3\right)=3c+d=2\\f\left(-4\right)=-4c+d=9\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d=2-3c\\d=9+4c\end{cases}\Rightarrow}2-3c=9}+4c\Rightarrow-3c-4c=9-2\)

\(\Rightarrow-7c=7\Rightarrow c=-1\).Với c = 1 => d=5 

Vậy f ( x ) = ( x² + 3 ) .( x² + x -12 ) - x + 5 = x⁴ + x³ - 9x² + 2x - 31

A E B D C F

Theo Talet có :  DE //AC => \(\frac{CD}{CB}=\frac{AE}{AB}\)

                        : DF // AB => \(\frac{BD}{BC}=\frac{AF}{AC}\)

Giả sử EF // BC => \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow\frac{CD}{CB}=\frac{BD}{BC}\)

=> CD = BD 

=> D là trung điểm của BC 

Qua K vẽ đường thẳng // với AB cắt AC tại H.

=> AHKD là hình bình hành => DK = AH (1)

Gọi giao điểm của AK và DH là O. Vì AHKD là HBH => DO = OH

Xét 3 đường thẳng MA, CA, BA đồng quy tại A cắt 2 đường thẳng DH và BC ta được: DO/OH = BM/MC = 1

=> DH // BC (định lí chùm đường thẳng đồng quy đảo)

Xét ∆ ADH và ∆ FEC có: 

AD = EF ( t/c đoạn chắn) ; DH = EC (t/c đoạn chắn) ; ^ADH = ^FEC => ∆ ADH = ∆ FEC (c-g-c)

=> AH = CF (2)

Từ (1) và (2) => CF = DK (đpcm)

GL

Do EF//AB⇒\(\frac{CF}{CA}=\frac{EF}{AB}\)⇒\(\frac{CF}{EF}=\frac{AC}{AB}\)(1)

Dựng MG//AC và MM là trung điểm cạnh BC

⇒GM là đường trung bình ΔABC

=⇒G là trung điểm cạnh AB ⇒AG=BG

Do DK//GM⇒\(\frac{AD}{AG}=\frac{DK}{GM}\)⇒\(\frac{AD}{BG}=\frac{DK}{GM}\)

=> \(\frac{DK}{AD}=\frac{GM}{BG}=\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{AB}{2}}=\frac{AC}{AB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{CF}{EF}=\frac{DK}{AD}\)

Mà tứ giác ADEF là hình bình hành (vì EF//AD và DE//AF) nên AD=EF

=> CF=DK (đpcm)
Nguồn: thuynga

Bạn nào cần thì xem nè ( đợi lâu quá trời luôn mà không có ai trả lời mình hết ) 

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của EC và ED.
Ta có tứ giác EINJ là hình bình hành ⇒EJ=NI,EI=NJ và ∠EIN=∠EJN.
Chú ý các tam giác CKE,DHE vuông tại K,H, theo tính chất đường trung tuyến
⇒JH=JE=IN,IK=IE=JN
Ta có KIC,HJD là các tam giác cân tại I và J, từ đó
∠KIE=2∠ACB=2∠ADB=∠HJE⇒∠KIN=∠HJN.
Do đó △KIN=△NJH (c.g.c)⇒NK=NH.
Chứng minh tương tự MH=MK⇒MN là đường trung trực của HK.
Bởi vậy HK⊥MN 

a) (6x+1)² + (6x-1)² - 2(1+6x)(6x-1)

= (6x+1+6x-1)² 

=144x²

b) x(2x² -3) - x²(5x+1) +x²

=2x³ - 3x - 5x³ -x²+x²

=-3x³-3x

=-3x(x²+1)

c) 3(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)

= (2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)

= (2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)

= (2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)

= (2¹⁶-1)(2¹⁶+1)

= 2³² -1

d) 3x(x-2) - 5x(1-x) - 8(x² -3)

= 3x²-6x - 5x + 5x² - 8x² +24 

= -11x +24

a) = (6x+1)² -2(6x+1)(6x-1)+(6x-1)²=(6x+1-6x+1)²=2²=4

\(\frac{5-x}{3}+\frac{3x-2}{5}=\frac{4x+3}{6-2x}\)

\(\frac{5\left(5-x\right)}{15}+\frac{3\left(3x-2\right)}{15}=\frac{2\left(2x+2\right)-1}{2\left(3-x\right)}\)

\(25-x+9x-6=\frac{2x+1}{3-x}\)

\(19+8x=\frac{2x+1}{3-x}\)

\(19+8x=\left(2x+1\right).\frac{1}{3-x}\)

\(19+8x=\frac{2x}{3-x}+\frac{1}{3-x}\)

\(19+8x=2x+1\)

\(19+8x-2x-1=0\)

\(18+6x=0\Leftrightarrow6x=-18\Leftrightarrow x=-3\)

a 5y+12=8y+27 

5y-8y=27-12

-3y=15

y=-5

b 3(x-11)

3x-33

\(ĐKXĐ:x\ne-1\)

\(\frac{1-x}{x+1}+3=\frac{2x+3}{x+1}\)\(\Leftrightarrow\frac{2x+3}{x+1}-\frac{1-x}{x+1}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x+3}{x+1}+\frac{x-1}{x+1}=3\)\(\Leftrightarrow\frac{2x+3+x-1}{x+1}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x+2}{x+1}=3\)\(\Leftrightarrow3x+2=3\left(x+1\right)\)\(\Leftrightarrow3x+2=3x+3\)

\(\Leftrightarrow3x-3x=3-2\)\(\Leftrightarrow0x=1\)( vô lý )

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\varnothing\)