Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm: \(LHS=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=RHS\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Bạn lên web h.vn để được giải đáp tốt hơn với các câu liên quan đến Hóa nhé!

a) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=2\)

\(\Leftrightarrow x+y=2xy\Leftrightarrow4xy=2x+2y\)

\(\Leftrightarrow4xy-2x-2y=0\Leftrightarrow2x\left(2y-1\right)-\left(2y-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2y-1\right)=1=1.1=\left(-1\right).\left(-1\right)\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}2x-1=1\\2y-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}2x-1=-1\\2y-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\left(L\right)\)

Vậy x = y = 1

b) A là số chính phương nên ta đặt \(n^2+2n+8=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2+7=a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(n+1\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(a-n-1\right)\left(a+n+1\right)=7=1.7=7.1\)

\(=\left(-1\right).\left(-7\right)=\left(-7\right).\left(-1\right)\)

Lập bảng:

Mà n là số tự nhiên nên n = 2.

Có ai rảnh ko

Toán lớp 5???

Xét \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)(đpcm)

câu b làm kiểu gì vậy ạ?

Câu b: Tam giác AHB vuông tại H, đường cao AH

=> AD.BD=DH²

Tương tự: AE.EC=HE²

=> AD.BD+AE.EC=DH²+HE²

=DE² (Pytago)

=AH² (ADHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông)

Có \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4\) (Vì xy = 1)

\(\Rightarrow|x+y|\ge2\)

Dấu "=" xả ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=y=1\\x=y=-1\end{cases}}\)

Xét x = y = 1 ta được:

\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5.1^{2016}+4.1}-2\right)^{2017}-\frac{1^{2015}}{1^{2016}}\)

\(M=\frac{3}{4}\)

Xét x = y = -1 ta được:

\(M=\frac{3}{4}+\left(\sqrt{5.\left(-1\right)^{2016}+4.\left(-1\right)}\right)^{2017}-\frac{\left(-1\right)^{2015}}{\left(-1\right)^{2016}}\)

\(M=\frac{7}{4}+3^{2017}\)

Vậy với \(xy=1\)và \(|x+y|\)đạt giá trị nhỏ nhất thì M nhận 2 giá trị là \(\orbr{\begin{cases}M=\frac{3}{4}\\M=\frac{7}{4}+3^{2017}\end{cases}}\)

Có |x+y| lớn hơn hoặc bằng 

|x|+|y| dấu bằng sảy ra <=>

xy lớn hơn hoặc bằng 0

mà xy=1 => |x+y|=|x|+|y| (1)

Ta lại có:|x|+|y|-2\(\sqrt{xy}=\)\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\)Lớn hơn hoặc bằng 0

=>|x|+|y| lớn hơn hoặc bằng \(2\sqrt{xy}=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

=>|x+y| lớn hơn hoặc bằng 2

=>MIN |x+y|=2

Dấu bằng sảy ra 

<=>|x+y|=2

Hay |x|+|y|=\(2\sqrt{xy}\)

=>\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\)

=>\(\sqrt{x}=\sqrt{y}\Rightarrow x=y\)

Mà |x+y|=2

TH1: x+y=2=>x=y=1

Thay vào M ta tính được M=3/4

TH2:x+y=-2 =>  x=y=-1

Thay vào M ta được

M=3/4

Vậy: M=3/4

Bài làm

Khai triển vế trái ta được

\(\left(\sqrt{n+1}\right)^2-2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}+\left(\sqrt{n}\right)^2\)

\(=n+1+n-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

\(=2n+1-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

Biến đổi vế phải

\(\left(2n+1\right)-\sqrt{4n^2+4n+1-1}=2n+1-\sqrt{4n\left(n+1\right)}\)

\(=2n+1-\sqrt{4}.\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

Từ đó suy ra hai vế bằng nhau. Vậy đẳng thức đúng.

(Thực ra đẳng thức đúng với n là số thực không âm)

Đề bài là gì zậy bạn ?

Mk cx ko hiểu.

Mong bạn giúp đỡ, thanks nhiều ạ !

À ừm, sorry bạn .

Bài làm

\(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2-5}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+3-2\sqrt{6}-5}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}+\sqrt{30}-\sqrt{12}}{12}\)