a:

d:

\(\dfrac{sin^3x+sinx\cdot cos^2x-cosx}{1-2\cdot sinx\cdot cosx}\)

\(=\dfrac{sinx\left(sin^2x+cos^2x\right)-cosx}{\left(sinx-cosx\right)^2}\)

\(=\dfrac{sinx-cosx}{\left(sinx-cosx\right)^2}=\dfrac{1}{sinx-cosx}\)

a) Trong mặt phẳng (SAC), gọi I là giao điểm của AO và MN. Khi đó vì \(MN\subset\left(BMN\right)\) nên I chính là giao điểm của (BMN) và SO.

b) Ta có \(I\in SO\subset\left(SBD\right)\) nên \(I\in\left(SBD\right)\). Trong mặt phẳng (SBD), gọi K là giao điểm của BI và SD. Khi đó vì \(K\in BI\subset\left(BMN\right)\) nên K chính là giao điểm của (BMN) và SD.

a: Trong mp(SAC), gọi K là giao điểm của MN với SO

mà MN\(\in\left(BMN\right)\)

nên \(K=SO\cap\left(BMN\right)\)

b: Vì K là giao của MN và SO

mà \(MN\in\left(BMN\right);SO\in\left(SBD\right)\)

nên \(K\in\left(BMN\right)\cap\left(SBD\right)\)

mà \(B\in\left(BMN\right)\cap\left(SBD\right)\)

nên \(\left(BMN\right)\cap\left(SBD\right)=BK\)

Gọi E là giao điểm của BK với SD

=>K là giao điểm của SD với (BMN)

 Có \(u_0=\dfrac{1}{2.0^2-3}=-\dfrac{1}{3};u_1=\dfrac{1}{2.1^2-3}=-1\)

 Ta có \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2\left(n+1\right)^2-3}< \dfrac{1}{2n^2-3}=u_n\) với \(n\ge2\)

 Khi đó \(\left\{u_n\right\}\) là dãy giảm với \(n\ge2\). Do đó \(u_n\le u_2=\dfrac{1}{2.2^2-3}=\dfrac{1}{5}\) hay \(\left\{u_n\right\}\) bị chặn trên bởi \(\dfrac{1}{5}\).

 Mặt khác, với \(n\ge2\) thì \(u_n>0\). Do đó \(\left\{u_n\right\}\) bị chặn dưới bởi \(-1\).

 Nếu \(n\) chẵn thì đpcm trở thành \(\dfrac{3n+1}{4n-1}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\) \(\Leftrightarrow3n+1\le3n+4\) \(\Leftrightarrow1\le4\), luôn đúng.

 Nếu \(n\) lẻ thì đpcm thành \(\dfrac{3n-1}{4n+1}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\)

 \(\Leftrightarrow\left(3n-1\right)\left(4n-1\right)\le\left(4n+1\right)\left(3n+4\right)\)

 \(\Leftrightarrow12n^2-3n-4n+1\le12n^2+16n+3n+4\)

 \(\Leftrightarrow26n+3\ge0\) (luôn đúng)

 Vậy với mọi \(n\inℕ^∗\) thì \(\dfrac{3n+\left(-1\right)^n}{4n-\left(-1\right)^n}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\)

=> The Norwegian drinks water. The Japanese owns the zebra.

Câu 3:

\(u_1=\dfrac{2\cdot1+1}{1+2}=\dfrac{3}{3}=1\)

\(u_4=\dfrac{2\cdot4+1}{4+2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

\(u_5=\dfrac{2\cdot5+1}{5+2}=\dfrac{11}{7}\)

Câu 2:

\(u_n=u_1+\left(n-1\right)\cdot d\)

=>\(-3\left(n-1\right)+4=-41\)

=>-3(n-1)=-45

=>n-1=15

=>n=16

Câu 1:

Tổng của 50 số hạng đầu là 5150

=>\(\dfrac{n\cdot\left[2\cdot u_1+\left(n-1\right)\cdot d\right]}{2}=5150\)

=>\(\dfrac{50\left(2\cdot5+\left(50-1\right)\cdot d\right)}{2}=5150\)

=>\(25\left(10+49d\right)=5150\)

=>49d+10=206

=>49d=196

=>d=4

\(u_{10}=u_1+9d=5+9\cdot4=5+36=41\)

Câu 1:

-2;x;-18;y là cấp số nhân

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\left(-2\right)\cdot\left(-18\right)\\\left(-18\right)^2=x\cdot y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=36\\xy=324\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=\dfrac{324}{6}=54\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=\dfrac{324}{-6}=-54\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>Chọn C

Câu 2:

\(u_4=u_2\cdot q^2\)

=>\(4q^2=9\)

=>\(q^2=\dfrac{9}{4}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}q=\dfrac{3}{2}\\q=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

TH1: q=3/2

\(u_2=q\cdot u_1\)

=>\(u_1=\dfrac{u_2}{q}=4:\dfrac{3}{2}=4\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}\)

\(u_5=u_1\cdot q^4=\dfrac{8}{3}\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{81}{16}=\dfrac{27}{2}\)

\(u_8=u_1\cdot q^7=\dfrac{8}{3}\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^7=\dfrac{2^3}{3}\cdot\dfrac{3^7}{2^7}=\dfrac{3^6}{2^4}=\dfrac{729}{16}\)

TH2: q=-3/2

\(u_1=\dfrac{u_2}{q}=4:\dfrac{-3}{2}=4\cdot\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{8}{3}\)

\(u_5=u_1\cdot q^4=-\dfrac{8}{3}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)^4=-\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{81}{16}=\dfrac{-27}{2}\)

\(u_8=u_1\cdot q^7=\dfrac{-8}{3}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)^7=\dfrac{-2^3}{3}\cdot\dfrac{\left(-3\right)^7}{2^7}=\dfrac{2^3}{3}\cdot\dfrac{3^7}{2^7}=\dfrac{3^4}{2^4}=\dfrac{81}{16}\)

Câu 3:

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5=51\\u_2+u_6=102\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1\cdot q^4=51\\u_1\cdot q+u_1\cdot q^5=102\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1\cdot q^4=51\\q\left(u_1+u_1\cdot q^4\right)=102\end{matrix}\right.\Leftrightarrow q=2\)

\(u_1+u_5=51\)

=>\(u_1\left(1+q^4\right)=51\)

=>\(u_1=\dfrac{51}{2^4+1}=\dfrac{51}{17}=3\)

\(u_4=u_1\cdot q^3=3\cdot2^3=24\)

\(u_{12}=u_1\cdot q^{11}=3\cdot2^{11}=6144\)