hmm... Nên cho thêm đề là x nguyên

\(\left(+\right)\left|x\right|=x\Leftrightarrow x>0\left(x\ne0\right)\)

\(\Rightarrow C=\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}\)

C lớn nhất \(\Leftrightarrow1+\frac{2}{x}\)lớn nhất 

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x}\) nhỏ nhất  \(\Leftrightarrow x=1\)Vì ( x > 0 )

\(\Leftrightarrow maxC=1+\frac{2}{1}=1+2=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)

\(\left(+\right)\left|x\right|=-x\Leftrightarrow x< 0\)

\(\Rightarrow C=\frac{x+2}{-x}=-1+\frac{-2}{x}\)

C lớn nhất \(\Leftrightarrow-1+\frac{-2}{x}\)lớn nhất

\(\Leftrightarrow-\frac{2}{x}\) lớn nhất \(\Leftrightarrow x\)lớn nhất và x < 0

\(\Leftrightarrow x=-1\)

\(\Rightarrow maxC=-1+\frac{-2}{-1}=-1+2=1\)

Vậy GTLN của C = 3 tại x = 1 

Xét hiệu (a^2 + 4b^2 + 4c^2)-( 4ab-4ac+8bc )

= (a^2-4ab+4b^2) + 4c^2 + (4ac-8bc)

=(a-2b)^2 + 4c^2 + 4c(a-2b)

=(a-2b+2c)^2 >=0

Vậy a^2 + 4b^2 + 4c^2 >=  4ab-4ac+8bc

hok tốt

\(\Leftrightarrow x^2-6=2x^2-12x-x\sqrt{3}+6\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x^2-12x-x\sqrt{3}+6\sqrt{3}+6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(12+\sqrt{3}\right)x+6\sqrt{3}+6=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(12+\sqrt{3}\right)^2-4\left(6\sqrt{3}+6\right)=123>0\)

\(\Rightarrow x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12+\sqrt{3}+\sqrt{123}}{2}\)

\(\Rightarrow x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{12+\sqrt{3}-\sqrt{123}}{2}\)

Giả sử \(a\ge b\ge c\ge0\)

a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(b-c)

=a(a-b)[(a-b)+(b-c)]-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)

=a(a-b)^2 +a(a-b)(b-c)-b(a-b)(b-c)+c(a-c)(b-c)

=a(a-b)^1 +(b-c)(a-b)^2 +c(a-c)(b-c) \(\ge0\)

Vậy .............

hok tốt

No Name:Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3

Do a,b,c bình đẳng ta giả sử \(a\ge b\ge c\)

Đặt \(a-b=x;b-c=y\)

Khi đó BĐT tương đương với:

\(c\left(x^2+xy+y^2\right)+x^2\left(x+2y\right)\ge0\left(true\right)\)

Vậy BĐT được chứng minh

WLOG \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0=VP\)

\(\left(2x+1\right)\left(x+1\right)^2\left(2x+3\right)=18\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x^2+2x+1\right)-18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+8x+3\right)\left(x^2+2x+1\right)-18=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x^2+2x+\frac{3}{4}\right)\left(x^2+2x+1\right)-18=0\)

Đặt \(a=x^2+2x+\frac{3}{4}\)    \(a=x^2+2x+\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow4a\left(a+\frac{1}{4}\right)-18=0\)

\(\Leftrightarrow4a^2+a-18=0\)

\(\Leftrightarrow4a^2-8a+9a-18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4a+9\right)\left(a-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}4a+9=0\\a-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}a=-\frac{9}{4}\\a=2\end{cases}}\)

\(\left(+\right)a=-\frac{9}{4}\Rightarrow x^2+2x+\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=0\)\(\Leftrightarrow x^2+2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+2=0\)

( vô lí )

\(\left(+\right)a=2\Rightarrow x^2+2x+\frac{3}{4}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-\frac{5}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1-\frac{9}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1-\frac{3}{2}\right)\left(x+1+\frac{3}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{5}{2}=0\\x-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{5}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

=> (2x+1)(2x+3)(x+1)²=18

=> (2x+2-1)(2x+2+1)(x+1)²=18

=> ((2x+2)²-1)(x+1)²=18

=>(2x+2)²(x+1)^{2 _} (x+1)² - 18 =0

=> (2(x+1))²(x+1)^2_(x+1)² - 18=0

=> 4(x+1)⁴ - (x+1)² -18 =0

 đặt (x+1)²=a

phương trình <=> 4a² - a-18=0

=>  4a² + 8a - 9a -18=0

=> 4a(a+2)-9(a+2)=0

=> (a+2)(4a-9)=0

từ đó tìm ra a xong tìm ra x mình nghĩ bạn giải đc :D 

quãng đường dài bao nhiêu thế bạn?

a)

Ta có:

( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 5 ) ( x + 7 ) + 2019

= [ ( x + 1 ) ( x + 7 ) ] . [ ( x + 3 ) ( x + 5 ) ] + 2019

= ( x² + 8x + 7 )( x² + 8x + 15 ) + 2019         ( 1 )

* Đặt x² + 8x + 10 = a

thì ( 1 ) trở thành:

     ( a - 3 ) ( a + 5 ) + 2019

=  a² + 2a - 15 + 2019

= a ( a + 2 ) + 2004

=> Pt đã cho chia cho a = x² + 8x + 10 dư 2004.

Vậy ..........

b)

- Vì x / (x² - x + 1) = 1/5 => x² - x + 1 = 5x

Ta có:

        A = x² / (x⁴ + x² + 1)

        A = x² / [( x² - x + 1 )( x² + x + 1 )]

        A = x² / {5x . [( x² - x + 1 ) + 2x ]}

        A = x² / [5x . ( 5x + 2x )]

        A = x² / ( 5x . 7x )

        A = x² / 35x²

        A = 1/35

Vậy A = 1/35.

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\) (BĐT Cosi)

Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)

Nhân vế theo vế \(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}=\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{2}\)

Nguồn:Hoàng Phương

Ta có : x²-2x+3|x-1| < 3

•         Nếu x\(\ge\)1 thì có : x² -2x+3(x-1) < 3 \(\Leftrightarrow\)x²-x-3<3 \(\Leftrightarrow\)x²-x-6<0 \(\Leftrightarrow\)(x-3)(x+2)<0\(\Leftrightarrow\)x<3 hoặc x<-2 =>x<-2
•         Nếu x<1 thì ta có : 

• Nếu 1<0 thì ta có : x²-2x+3(1-x) < 3 \(\Leftrightarrow\)x²-5x+3 < 3\(\Leftrightarrow\)x²-5x < 0 \(\Leftrightarrow\)x(x-5) < 0\(\Rightarrow\)x< 0  hoặc x< 5 
•