Vẽ tam giấc ABC có tan a = AC/AB (1)
  suy ra    sin a = AC/BC
                cos a = AB/BC 
suy ra sin a/cos a = AC/BC : AB/BC = AC/AB (2)
Từ 1 và 2 suy ra tan a = sin a / cos a

a) Vẽ \(\Delta ABC\)vuông tại A 

Lúc đó \(sina=\frac{AB}{BC}\)

\(sina=\frac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{sina}{cosa}=\frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AC}{BC}}=\frac{AB}{AC}=tana\left(đpcm\right)\)

b) \(sina=\frac{AB}{BC}\); \(cosa=\frac{AC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{cosa}{sina}=\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{AC}{AB}=cota\left(đpcm\right)\)

Vẽ \(\Delta ABC\)vuông tại A 

Lúc đó: \(sina=\frac{AB}{BC}\Rightarrow sin^2a=\frac{AB^2}{BC^2}\)

\(cosa=\frac{AC}{BC}\Rightarrow cos^2a=\frac{AC^2}{BC^2}\)

\(\Rightarrow sin^2a+cos^2=\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1\)(Áp dụng định lý Py - ta - go)

Vẽ \(\Delta ABC\)vuông tại A

Lúc đó \(tana=\frac{AC}{AB}\)

\(cota=\frac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow tana.cota=\frac{AC}{AB}.\frac{AB}{AC}=1\left(đpcm\right)\)

1+1=2

và ko rảnh để chạy bộ chung

sud kênh M.ichibi ủng hộ mik

\(N^2\le2\left(20x^2+11y^2\right)=4016\)\(\Leftrightarrow\)\(-4\sqrt{251}\le N\le4\sqrt{251}\)

\(\hept{\begin{cases}N_{min}=-4\sqrt{251}\left(x=-\sqrt{\frac{251}{5}};y=-\sqrt{\frac{1004}{11}}\right)\\N_{max}=4\sqrt{251}\left(x=\sqrt{\frac{251}{5}};y=\sqrt{\frac{1004}{11}}\right)\end{cases}}\)

a.\(DK:x\ge0\)

\(A=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+1}.\frac{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-2\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1\)

b.Dat \(P=\frac{1}{A}\left(x+3\right)=\frac{x+3}{\sqrt{x}+1}\left(P>0\right)\)

\(\Rightarrow P\sqrt{x}+P=x+3\)

\(\Leftrightarrow x-P\sqrt{x}+3-P=0\)

Dat \(t=\sqrt{x}\left(t\ge0\right)\)

Ta co:

\(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow P^2-4\left(3-P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow P^2+4P-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-2\right)\left(P+6\right)\ge0\)

TH1:

\(\hept{\begin{cases}P-2\ge0\\P+6\ge0\end{cases}\Leftrightarrow P\ge2}\)

TH2:

\(\hept{\begin{cases}P-2\le0\\P+6\le0\end{cases}\Leftrightarrow P\le2\left(P>0\right)}\)

Vi la de bai tim min nen lay TH1 thoi 

Dau '=' xay ra khi \(x=\frac{P}{2}=1\)

Vay \(P_{min}=2\)khi \(x=1\)

b. Cach 2:

\(P=\frac{x+3}{\sqrt{x}+1}=2+\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=2+\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}+1}\ge2\)

Dau '=' xay ra khi \(x=1\)

Vay \(P_{min}=2\)khi \(x=1\)

từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại k

ta có: 2.AK.b=AK.b+AK.b           

=AK.(AK+CK)+(b-CK).b

=AK^2+AK.CK+b^2-b.CK

=c^2-BK^2+b^2-CK.(b-AK)

=c^2-(a^2-CK^2)+b^2-CK.CK

=c^2-a^2+CK^2+b^2-CK^2

=b^2+c^2-a^2

mà: cosA=AK/c=2.AK.b/2bc

=(b^2+c^2-a^2)/2bc

=>b^2+c^2-a^2=2bc.cosA (đpcm)

hay phết