Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, ba đường cao \(AK,BD,CE\) cắt nhau tại \(H\).
\(a\)) Chứng minh: \(BH\cdot BD=BC\cdot BK\) và \(BH\cdot BD+CH\cdot CE=BC^2\).
\(b\)) Chứng minh: \(BH=AC\cdot\cot ABC\).
\(c\)) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(AM\) cắt đường thẳng \(BD,CE\) lần lượt tại \(Q\) và \(P\). Chứng minh: \(MP=MQ\).

Cho hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat{BAD}=120^o\). Tia \(Ax\) tạo với tia \(AB\) một góc \(\widehat{BAx}=15^o\) và cắt cạnh \(BC\) tại \(M\), cắt đường thẳng \(CD\) tại \(N\). Chứng minh: \(\dfrac{4}{AB^2}=\dfrac{3}{AM^2}+\dfrac{3}{AN^2}\)

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt nhau tại M

a, Chứng minh tam giác MCD đồng dạng với tam giác MBA. Tìm tỉ số đồng dạng

b, Cho $\widehat{ABC}={30}^0$, tính độ dài cung nhỏ AC

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M kẻ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O'), trong đó E, F thuộc đường tròn (O') và điểm F nằm trong đường tròn (O). Hai đường thẳng AB và AF cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q (P, Q khác A). Tia EF cắt PQ tại K.

a) Chứng minh BKPE là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi 1 và 1 lần lượt là giao điểm của AB với OO' và EF. Chứng minh

c) Chứng minh 

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=2,7\), trung tuyến \(AM=3,2\) và đường cao \(BH=2,5\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AM\) và \(BH\). Tính gần đúng (chính xác đến hai chữ số thập phân).
\(a\)) Độ dài các cạnh \(AC,BC\).
\(b\)) Độ dài đoạn \(OA,OB,OC,OM\).
\(c\)) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(BMO\).
\(d\)) Số đo góc \(MOC\) (Làm tròn đến giây).