\(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{100}\\ 2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\\ 2A-A=2^{101}-1\\ A=2^{101}-1\)

\(B=1+3+3^2+3^3+...+3^{99}\\ 3B=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\\ 3B-B=3^{100}-1\\ B=\dfrac{3^{100}-1}{2}\)

\(C=1+3^2+3^4+3^6+...+3^{100}\\ 9C=3^2+3^4+3^6+3^8+...+3^{102}\\ 9C-C=3^{102}-1\\ C=\dfrac{3^{102}-1}{8}\)

\(2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\)

\(A=2A-A=2^{101}-1\)

\(3B=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\)

\(2B=3B-B=3^{100}-1\Rightarrow B=\dfrac{3^{100}-1}{2}\)

\(3^2.C=9.C=3^2+3^4+3^6+3^8+...+3^{102}\)

\(8C=9C-C=3^{102}-1\Rightarrow C=\dfrac{3^{102}-1}{8}\)

\(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+...+\dfrac{1}{n.\left(n+1\right)}=\dfrac{2011}{4026}\left(n\ne-1\right)\)

\(\dfrac{3-2}{2.3}+\dfrac{4-3}{3.4}+\dfrac{5-4}{4.5}+\dfrac{\left(n+1\right)-n}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{2011}{4026}\)

\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{2011}{4026}\)

\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{2011}{4026}\)

\(2013\left(n+1\right)-4026=2011\left(n+1\right)\)

\(2\left(n+1\right)=4026\Rightarrow2n=4024\Rightarrow n=2012\)

An cho Hà số táo là:

   54 x 2/3 = 36 quả

Sau khi cho Hà , An còn lại số táo là:

   54 - 36 = 18 quả

An cho Mai số táo là:

    18 x 5/6 = 15 quả

Sau khi cho Mai và Hà thì An còn lại số quả táo là:

   54 - ( 18 + 15 ) = 21 quả

An cho Hà số quả táo là:

54:3 x2= 36 ( quả)

An sau khi cho Hà , An cònsố quả táo là:

54-36=18 ( quả) 

 A n  cho Mai  số quả táo là:

18:6 x5= 15( quả)

Sau khi cho Mai và Hà thì An còn lại số quả táo là:

54- (18+15)= 21 (quả)

                     Đ/S : 21 quả 

\(x^{15}-x=0\Leftrightarrow x\left(x^{14}-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^{14}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

`x^{15}=x`

`x^{15}-x=0`

`x.(x^{14}-1)=0`

`@TH1: x=0`

`@TH2:x^{14}-1=0`

     `=>x^{14}=1`

     `=>x^{14}=1^{14}` hoặc `x^{14}=(-1)^{14}`

     `=>x=1`    hoặc `x=-1`

Vậy \(x \in {{0;1;-1}}\)

Theo đề ta có :

`x ⋮108`

`x ⋮ 144`

`=>` \(x\in BC\left(108;144\right)=432\)

`=> x ∈ B(432) = {0;432;864,1296....}`

Mà : `500 < x < 1000`

`=>x = {0;432;864}`

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{x+2}{7}\\ =>7x=5\left(x+2\right)\\ =>7x=5x+10\\ =>7x-5x=10\\ =>2x=10\\ =>x=5\)

\(\Rightarrow7x=5x+10\Leftrightarrow2x=10\Leftrightarrow x=5\)

\(154-153+152-151+150-149+...+2-1\\ =\left(154-153\right)+\left(152-151\right)+\left(150-149\right)+...+\left(2-1\right)\\ =1+1+1+...+1\\ =77\)

(Do dãy trên có 154 số hạng => 77 nhóm, mỗi nhóm có giá trị là 1)

`154-153+152-151+150-149+.....+2-1`

`=(154-153)+(152-151)+(150-149)+.....+(2-1)`

`=1+1+1+.....+1`

Có : `77` cặp số

`=1 xx 77`

`=77`