x2−2(m+1)x+m2+2=0x2−2(m+1)x+m2+2=0

Để phương trình có hai nghiệm x1,x2x1,x2 thì Δ′≥0Δ′≥0

⇔(m+1)2−m2−2≥0⇔(m+1)2−m2−2≥0

⇔2m−1≥0⇔m≥12⇔2m−1≥0⇔m≥12

Theo Vi-et ta có: 

⇒{x1.x2=m2+2x1+x2=2(m+1)⇒P=m2+2−2.2(m+1)−6=m2−4m−8=(m−2)2−12(m−2)2≥0⇒P≥−12⇒{x1.x2=m2+2x1+x2=2(m+1)⇒P=m2+2−2.2(m+1)−6=m2−4m−8=(m−2)2−12(m−2)2≥0⇒P≥−12

Dấu "=" xảy ra ⇔m=2 (thỏa mãn).

Vậy m=2m=2 thì PP đạt giá trị nhỏ nhất là -12.

PT \(\Leftrightarrow\frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}=\frac{2}{-\left(x-4\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{-\left(x-4\right)\left(x-2\right)}=\frac{2}{-\left(x-4\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow-\left(x^2-2x+3x-6\right)-\left(x^2-4x-x+4\right)=2\)

\(\Leftrightarrow-x^2-x+6-x^2+5x-4=2\)

\(\Leftrightarrow-2x^2+4x=0\Leftrightarrow-2x\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x=0;x=2\)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 ; x = 2 

Ta có: \(2x^3-7x^2+7x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^3-2x^2\right)-\left(5x^2-5x\right)+\left(2x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2-5x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(2x^2-4x\right)-\left(x-2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(2x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow x\in\left\{\frac{1}{2};1;2\right\}\)

\(2x^3-7x^2+7x-2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^3-1\right)-7x\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-7x\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2+2x+2-7x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2-5x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x-1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow x=1;x=\frac{1}{2};x=2\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1 ; 1/2 ; 2 } 

\(\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x-3\right)=12\)

Đặt \(x^2+x-2=t\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-1\right)=12\)

\(\Leftrightarrow t^2-t-12=0\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t-3\right)=0\Leftrightarrow t=4;t=3\)

hay \(x^2+x-6=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow x=2;x=-3\)

\(x^2+x-5\ne0\)tự chứng minh 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { -3 ; 2 } 

Đặt \(a=x^2+x-2\)\(\Rightarrow\)\(a-1=x^2+x-3\)

Ta có: \(a.\left(a-1\right)=12\)

    \(\Leftrightarrow a^2-a-12=0\)

    \(\Leftrightarrow a^2-4a+3a-12=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(a-4\right).\left(a+3\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-4=0\\a+3=0\end{cases}}\)

    \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=4\\a=-3\end{cases}}\)

+ \(a=4\)\(\Rightarrow\)\(x^2+x-2=4\)

                   \(\Leftrightarrow\)\(x^2+x-6=0\)

                   \(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x+3x-6=0\)

                   \(\Leftrightarrow\)\(\left(x-2\right).\left(x+3\right)=0\)

                   \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-3\end{cases}}\)

+ \(a=-3\)\(\Rightarrow\)\(x^2+x-2=-3\)

                   \(\Leftrightarrow\)\(x^2+x+1=0\)

                   \(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=0\)

                   \(\Leftrightarrow\)\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)( * )

 Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)\(\Rightarrow\)Đa thức ( * ) ko có giá trị

Vậy ............

\(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=12\)

Đặt \(x^2+x+1=t\)

\(\Leftrightarrow t\left(t+1\right)=12\Leftrightarrow t^2+t-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x+5\ne0\right)=0\)( tự chứng minh )

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1;x=-2\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S = { 1 ; -2 }

Đặt \(x^2+5x=t\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t-24=0\Leftrightarrow\left(t-6\right)\left(t+4\right)=0\Leftrightarrow t=6;t=-4\)

hay \(x^2+5x-6=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+6\right)=0\Leftrightarrow x=1;x=-6\)

\(x^2+5x+4=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0\Leftrightarrow x=-1;x=-4\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S = { \(\pm\)1 ; -6 ; -4 }

Ta có: \(\left(x^2+5x\right)^2-2.\left(x^2+5x\right)-24=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x^2+5x\right)^2-6.\left(x^2+5x\right)+4.\left(x^2+5x\right)-24=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x^2+5x\right).\left(x^2+5x-6\right)+4.\left(x^2+5x-6\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+4\right).\left(x^2+5x-6\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x^2+x+4x+4\right).\left(x^2-x+6x-6\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x+1\right).\left(x+4\right).\left(x-1\right).\left(x+6\right)=0\)

Suy ra: \(x=-1\)hoặc \(x=-4\)hoặc \(x=1\)hoặc \(x=-6\)

Vậy .........

(x² - 5x)² + 10(x² - 5x) + 24 = 0

<=> (x² - 5x)² + 10(x² - 5x) + 25 - 1 = 0

<=> (x² - 5x + 5)² - 1 = 0

<=> (x² - 5x + 4)(x² - 5x + 6) = 0

<=> (x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3) = 0

<=> x - 1 = 0 hoặc x - 4 = 0 hoặc x - 2 = 0 hoặc x - 3 = 0

<=> x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2 hoặc x = 3

Vậy \(x\in\left\{1;2;3;4\right\}\)là nghiệm phương trình

Đặt x² - 5x = t

pt <=> t² + 10t + 24 = 0

<=> t² + 4t + 6t + 24 = 0

<=> t( t + 4 ) + 6( t + 4 ) = 0

<=> ( t + 4 )( t + 6 ) = 0

<=> ( x² - 5x + 4 )( x² - 5x + 6 ) = 0

<=> ( x² - x - 4x + 4 )( x² - 2x - 3x + 6 ) = 0

<=> [ x( x - 1 ) - 4( x - 1 ) ][ x( x - 2 ) - 3( x - 2 ) ] = 0

<=> ( x - 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 ) = 0

<=> x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = 4

Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }

1) Ta có: \(\left(x^2-1\right)^2-x\left(x^2-1\right)-2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x^2-1\right)^2+x\left(x^2-1\right)\right]-\left[2x\left(x^2-1\right)+2x^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+x-1\right)-2x\left(x^2+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-2x-1=0\\x^2+x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=2\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=\pm\sqrt{2}\\x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\pm\sqrt{2}\\x=-\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

2) Ta có: \(\left(x^2+4x+8\right)^2+3x\left(x^2+4x+8\right)+2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x^2+4x+8\right)^2+x\left(x^2+4x+8\right)\right]+\left[2x\left(x^2+4x+8\right)+2x^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x+8\right)\left(x^2+5x+8\right)+2x\left(x^2+5x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+6x+8\right)\left(x^2+5x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x^2+5x+8\right)=0\)

Vì \(x^2+5x+8=\left(x^2+5x+\frac{25}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+2=0\\x+4=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=-4\end{cases}}\)

Vậy x = -2 hoặc x = -4