Chúng ta đã có kết quả:

 \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\forall x,y\), và dấu "=" khi \(xy\ge0\)

CM: \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left|x+y\right|^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2\left|x\right|\left|y\right|\ge x^2+y^2+2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left|x\right|\left|y\right|\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left|x\right|\left|y\right|\ge xy\)(Đúng)

Dấu "=" khi |x||y|=xy hay \(xy\ge0\)

Áp dụng::

Thay x bởi a-b và y bởi b

Khi đó: \(\left|a-b\right|+\left|b\right|\ge\left|\left(a-b\right)+b\right|=\left|a\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\)

Dấu "=" khi và chỉ khi \(ab\le0\).

A B C H

a) \(\Delta BHA~\Delta BAC\left(g.g\right)\)vì:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ABH}=\widehat{CBA}\left(gt\right)\\\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\Leftrightarrow BA^2=BH.BC\)

b) Mình nghĩ đề là CM: AH² = HB . HC nhé

\(\Delta HBA~\Delta HAC\left(g.g\right)\)vì:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{HBA}=\widehat{HAC}=90^0-\widehat{C}\\\widehat{AHC}=\widehat{BHA}=90^0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{HC}\Leftrightarrow AH^2=HB.HC\)

a,Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta CBA\)có

\(\widehat{B}\)chung 

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABH\infty\Delta CBA\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BA}{BC}=\frac{BH}{BA}\)(cặp cạnh tỉ lệ)  \(\Leftrightarrow BA^2=BH.BC\left(đpcm\right)\)

b,Sửa lại đề: Chứng minh \(AH^2=HB.HC\) 

VÌ \(\Delta ABH\infty\Delta CBA\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{ACB}\)(2 góc tương ứng )

hay \(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)

Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta CAH\)có:

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABH\infty\Delta CAH\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\)(cặp cạnh tỉ lệ )

\(\Rightarrow AH^2=BH.CH\left(đpcm\right)\)

Học tốt 

\(\hept{\begin{cases}\left|2x+5\right|=2x+5\Leftrightarrow x\ge-\frac{5}{2}\\\left|2x+5\right|=-\left(2x+5\right)\Leftrightarrow x< -\frac{5}{2}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\left|4-x\right|=4-x\Leftrightarrow x\le4\\\left|4-x\right|=x-4\Leftrightarrow x>4\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\left|x+9\right|=x+9\Leftrightarrow x\ge-9\\\left|x+9\right|=-\left(x+9\right)\Leftrightarrow x< -9\end{cases}}\)

(+) \(-\frac{5}{2}\le x\le4\) \(\left(-\frac{5}{2}>-9\right)\)

\(pt\Leftrightarrow2x+5+4-x=x+9\)

\(\Leftrightarrow0x=0\left(true\right)\)

(+) \(-9\le x< -\frac{5}{2}\) \(\left(-\frac{5}{2}< 4\right)\)

\(pt\Leftrightarrow-\left(2x+5\right)+4-x=x+9\)

\(\Leftrightarrow-2x-5+4-x=x+9\)

\(\Leftrightarrow-4x=10\Leftrightarrow x=-\frac{5}{2}\)( không thỏa mãn )

Vậy phương trình nhận mọi x trong khoảng \(-\frac{5}{2}\le x\le4\)làm nghiệm

Ta có |2x + 5| + |4 - x| = |x + 9|

=> \(\orbr{\begin{cases}\left|2x+5\right|+\left|4-x\right|=x+9\\\left|2x+5\right|+\left|4-x\right|=-x-9\end{cases}}\)

Khi |2x + 5| + |4 - x| = x + 9 (1)

Nếu x < -2,5

=> |2x + 5| = - (2x + 5) = -2x - 5

=> |4 - x| = 4 - x

=> (1) <=> -2x - 5 + 4 - x = x + 9

=> -2x - x - x = 9 - 4 + 5

=> - 4x = 10

=> x = -2,5 (loại)

Nếu \(-2,5\le x\le4\)

=> |2x + 5| = 2x + 5

|4 - x| = 4 - x

=> (1) <=> 2x + 5 + 4 - x = x + 9

=> 2x - x - x = 9 - 5 - 4

=> 0x = 0

=> x thỏa mãn với  \(-2,5\le x\le4\)

Nếu x > 4

=> |2x + 5| = 2x + 5

|4 - x| = -4 + x

=> (1) <=> 2x + 5 - 4 + x = x + 9

=> 2x + x - x = 9 - 5 + 4

=> 2x = 8

=> x = 4 (loại)

Vậy khi |2x + 5| + |4 - x| = x + 9 thì  \(-2,5\le x\le4\)

Khi |2x + 5| + |4 - x| = -x - 9

Nếu x < -2,5

=> |2x + 5| = - (2x + 5) = -2x - 5

=> |4 - x| = 4 - x

=> (1) <=> -2x - 5 + 4 - x = -x - 9

=> -2x - x + x = -9 - 4 + 5

=> - 2x = -8

=> x = 4 (loại)

Nếu \(-2,5\le x\le4\)

=> |2x + 5| = 2x + 5

|4 - x| = 4 - x

=> (1) <=> 2x + 5 + 4 - x = -x - 9

=> 2x - x + x = -9 - 5 - 4

=> 2x = -18

=> x = -9 (loại)

Nếu x > 4

=> |2x + 5| = 2x + 5

|4 - x| = -4 + x

=> (1) <=> 2x + 5 - 4 + x = - x - 9

=> 2x + x + x = 9 - 5 + 4

=> 4x = 8

=> x = 2 (loại)

Vậy khi |2x + 5| + |4 - x| = -x - 9 thì \(x\in\varnothing\)

Vậy  \(-2,5\le x\le4\)

d, Gọi giao điểm của MG và BD là O.

Xét tam giác MOB vuông tại M có MBO = 45 độ

=> MOB v.cân tại M. => MO = MB ( t/c tam giác vuông cân )

Lại có Tam giác AND = Tam giác AMB 

=> ND = BM ( 2 cạnh tương ứng ) 

=> MO = ND

Ta có : IMO + NMC = 90 độ ( = GMC )

IND + NMC = 90 độ ( = GMC ) 

=> IMO = IND

Xét tam giác NDI và tam giác MOI có : 

MO = ND ( cmt ) ; IMO = IND ( cmt ) ; IN = IM ( gt )

=> tam giác NDI = tam giác MOI ( c.g.c )

=> NID = MIO ( 2 góc tương ứng )

Mà MIO + NIB = 180 độ

=> NID + NIB = 180 độ <=> DIB = 180 độ

<=> B,I,D thẳng hàng ( đpcm )

ĐK: \(x\le-1\)hoặc \(x\ge2\)

\(\left(2x-1\right)^2=12\sqrt{x^2-x-2}+1\Leftrightarrow4x^2-4x-12\sqrt{x^2-x-2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2-3\sqrt{x^2-x-2}+2=0\)

Đặt \(t=\sqrt{x^2-x-2}\ge0\). Phương trình trên trở thành \(t^2-3t+2=0\)

Đến đây bạn tự giải tiếp

điều kiện x²-x-2 >=0 <=> x=< -1; x>= 2

ta biến đổi phương trình về dạng (2x-1)²=\(12\sqrt{x^2-x+1}+1\Leftrightarrow4x^2-4x+1=12\sqrt{x^2-x+1}+1\Leftrightarrow x^2-x=3\sqrt{x^2-x-2}\)

đặt t=\(\sqrt{x^2-x-2}\ge0\)thì t²=x²-x-2 thay vào phương trình ta được

t²+2-3t=0 <=> t=1 và t=2

với t=1 ta được x²-x-3=0 => \(x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\)

với t=2 ta đươc x²-x-6=0 => x=-2; x=3

các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện

vậy \(x=\left\{-2;3;\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\right\}\)là các nghiệm của phương trình

Trả lời:

Gọi thời gian đội I và đội II làm một mình xong công việc lần lượt là x; y (ngày)

Điều kiện : x, y > 12, x,y ∈ N.

Một ngày đội I làm được :  (công việc).

Một ngày đội II làm được :  (công việc).

+ Hai đội cùng làm sẽ xong trong 12 ngày nên ta có phương trình: 

+ Hai đội cùng làm trong 8 ngày được:  công việc.

⇒ còn lại đội II phải hoàn thành một mình  công việc.

Vì đội II tăng năng suất gấp đôi nên một ngày đội II làm được  công việc.

Đội II hoàn thành  công việc còn lại trong 3,5 ngày nên ta có phương trình: 

Ta có hệ phương trình:

Vậy nếu làm một mình, đội I làm xong công việc trong 28 ngày, đội II làm xong công việc trong 21 ngày.

Gọi x , y lần lượt là số thời gian đội 1 và đội 2 hoàn thành xong công việc 

Trong 1 ngày , đội 1 làm xong \(\frac{1}{x}\) công việc .

Trong 1 ngày , đội 2 làm được \(\frac{1}{y}\)công việc .

Trong 1 ngày , cả 2 đội làm được \(\frac{1}{12}\) công việc .

Theo bài cho ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\)  ( 1 )

Khi cả 2 đội làm chung 8 ngày , cả hai đội làm được \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)công việc .

Vậy số công việc để 2 đội làm nốt là : \(1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) công việc

Mà đội 2 làm với năng suất tăng gấp đôi nên : \(2.\frac{1}{y}=\frac{2}{y}\) 

Ta lại có : \(3,5.\frac{2}{y}=\frac{1}{3}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : x = 28  , y = 21 

Vậy đội 1 làm trong 28 ngày , đội 2 làm trong 21 ngày .

Học tốt

Ta có: 4x² + 12xy + 10y² + 4x + 4y + 2 = 0

<=> (4x² + 12xy + 9y²) + 2(2x + 3y) + 1 + (y² - 2y + 1) = 0

<=> (2x + 3y)² + 2(2x + 3y) + 1 + (y - 1)² = 0

<=> (2x + 3y + 1)² + (y - 1)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}2x+3y+1=0\\y-1=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{1+3y}{2}\\y=1\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}}\)(tm)

Khi đó: P = \(\frac{x^2+y^2+xy}{3xy}=\frac{\left(-2\right)^2+1^2-2.1}{3.\left(-2\right).1}=-\frac{1}{2}\)

CÓ AI KẾT BẠN VS TUI KO???

ko ai kết bạn vs tui à

Đặt a² = x; b² = y; c² = z

Khi đó, ta có: (x + y)(y + z)(z + x) \(\ge\)xyz

<=> (xy + xz + y² + yz)(z + x) - 8xyz \(\ge\)0

<=> xyz + xz² + y²z + yz² + x²y + x²z + y²x + xyz - 8xyz \(\ge\)0

<=> (xz² +xy²) + (y²z + zx²) + (yz² + yx²) - 6xyz \(\ge\)0

<=> (xz² - 2xyz + xy²) + (y²z + zx² - 2xyz) + (yz² + yx² - 2xyz) \(\ge\)0

<=> x(z² - 2yz + y²) + z(y² + x² - 2xy) + y(z² + x² - 2xz) \(\ge\) 0

<=> x(z - y)² + z(y - x)² + y(z - x)² \(\ge\)0

hay a²(c² - b²)² + c²(b² - a²)² + b²(c² - a²)² \(\ge\)0 (luôn đúng với mọi a;b;c)

=> Đpcm

Đặt \(a^2;b^2;c^2\rightarrow x;y;z\left(x;y;z\ge0\right)\)

Khi đó bài toán trở thành \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)

\(< =>\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-8xyz\ge0\)

\(< =>a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)hay \(a^2=b^2=c^2\)

Ta có: \(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}=6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bài làm:

Ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(bất đẳng thức Cauchy)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\)

\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta được:

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{2.\frac{1}{4}}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\)

\(=\frac{4}{1^2}+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)