Cô-si : \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le\frac{a+b+b+c}{2}=\frac{a+2b+c}{2}\)

Ta sẽ chứng minh \(VT\le6=\Sigma_{cyc}\frac{a+2b+c}{2}\) . Ta có:

\(VP-VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(\sqrt{c+a}+\sqrt{b+c}\right)^2}\ge0\)

Từ đó..

\(d=\left(2n+1,\frac{n^2+n}{2}\right)=\left(2n+1,n^2+n\right)\text{vì }2n+1\text{ lẻ}\)

\(\Rightarrow2n^2+2n-2n^2-n\text{ chia hết cho d hay:}n\text{ chia hết cho d do đó: }2n+1-2n\text{ chia hết cho d }nên:\)

1 chia hết cho d nên: d=1.

ta có điều phải chứng minh.

có cả mấy bất đẳng thức đó hả

bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs

mk thanks

\(\sqrt{x^2}=\left|-9\right|\)

\(\Leftrightarrow x=9\)

x=-9 nữa

\(2\sqrt{x}-x-3=-x+2\sqrt{x}-1-2=-\left(\sqrt{x}-1\right)^2-2\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Rightarrow-\left(\sqrt{x}-1\right)^2\le0\Rightarrow-\left(\sqrt{x}-1\right)^2-2\le-2\)

=> \(A=\frac{1}{2\sqrt{x}-x-3}\ge-\frac{1}{2}\)

Dấu"=" xảy ra <=> \(\sqrt{x}-1=0\)<=> x = 1

Vậy max A = -1/2 đạt tại x = 1.

Hướng dẫn: 

Gọi F là giao điểm của d và AB

\(\Delta\)BFE ~ \(\Delta\)DBA ( g - g - g) 

=> \(\frac{BF}{DB}=\frac{BE}{DA}\)=> BF . DA = DB . BE  (1) 

Ta có : BD // CF => \(\frac{AB}{BF}=\frac{AD}{DC}\)=> AB . DC = AD . BF  (2)

Từ (1) ; (2) => DB . BE = AB . DC => \(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{BE}\)(3)

Có:  CF // BD và BE vuông CF => BE vuông DB => ^DBE = 90\(^o\)

=> ^EBF  + ^DBA = 90\(^o\)

mà ^DBA + ^ADB = 90\(^o\)

=> ^EBF = ^ADB 

=> ^CDB = ^EBA ( 4 )

3, 4 => \(\Delta\)BAE ~ \(\Delta\)DBC ( c.g.c)

 \(A=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}\)

\(A=\sqrt{2-2\sqrt{2}.1+1}-\sqrt{4+2.2\sqrt{2}+2}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}-\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)^2}\)

\(A=\left|\sqrt{2-1}\right|-\left|2+\sqrt{2}\right|\)

\(A=\sqrt{2}-1-2-\sqrt{2}\)|

\(A=-3\)

\(A=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{6+4\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{2}-1-\left(2+\sqrt{2}\right)\)

\(=\sqrt{2}-1-2-\sqrt{2}\)

\(=-1-2\)

\(=-3\)

A B C D E H M

Kẻ HM vuông góc BC ( M thuộc BC )

\(\Delta BHM~\Delta BCD\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\frac{BH}{BC}=\frac{BM}{BD}\Rightarrow BH.BD=BC.BM\)  ( 1 )

\(\Delta CHM~\Delta CBE\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{CH}{BC}=\frac{CM}{CE}\Rightarrow CH.CE=BC.CM\)   ( 2 )

Từ ( 1  ) và ( 2 ) \(\Rightarrow BH.BD+CH.CE=BC\left(BM+CM\right)=BC^2\)