Nếu p>3  mà p là SNT nên p ko chia hết cho 3

Suy ra p^2 chia 3 dư 1

Suy ra p^2+8 chia hết cho 3,mà p^2+8>3 nên p^2+8 là HS(L)

Vậy p nhỏ hơn hoặc bằng 3

Nếu p=2 thì p^2+8 là HS (L)

Khí đó p=3

Suy ra p^3+8p+2=53 là SNT(đpcm)

Bài 1

a, Với \(x=9\)thì \(A=\frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}+1=\frac{3}{3}+1=2\)

b, Để \(A=\frac{5}{2}\)thì \(\frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}+1=\frac{5}{2}< =>\frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{3}{2}< =>x=4\)

Bài 2

a, \(B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+\frac{4\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}}\left(đk:x>0\right)\)

\(=1-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}}=\frac{x+5\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}+5x+2\sqrt{x}-2x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+x}=\frac{x\sqrt{x}+3x}{x\sqrt{x}+x}\)

\(=1+\frac{2x}{x\left(\sqrt{x}+1\right)}=1+\frac{2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\)

\(A=\frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)Thay x = 9 ta có : 

\(VT=\frac{3+\sqrt{9}}{\sqrt{9}}=\frac{3+3}{3}=2\)

Bài ra ta có : \(A=\frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow\frac{3}{\sqrt{x}}+1=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

Giả sử:\(x=a^2+b^2;y=c^2+d^2\)

Ta có:\(xy=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)

\(=\left[\left(ac\right)^2+2acbd+\left(bd\right)^2\right]+\left[\left(ad\right)^2-2adbc+\left(bc\right)^2\right]=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\left(đpcm\right)\)

Giả sử hai số nguyên đó là m,n.

Theo gt: m=a²+b², n=c²+d² (a,b,c,d thuộc Z)

Ta có:

 \(mn=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(=\left(a^2d^2+b^2c^2+2abcd\right)+\left(a^2c^2+b^2d^2-2abcd\right)\)

\(=\left(ad+bc\right)^2+\left(ac-bd\right)^2\)(đpcm)

C = 2x² + 2y² + 26 + 12x - 8y

C = (2x² + 12x + 18) + (2y² - 8y + 8) 

C = 2(x² + 6x + 9) + 2(y² - 4y + 4)

C = 2(x + 3)² + 2(y - 2)² \(\ge\)0 với mọi x;y

Dấu "=" xảy ra <=> x + 3 = 0 và y - 2 = 0

<=> x = -3 và y = 2

Vậy MinC = 0 khi x = -3 và y = 2

\(C=2\left(x^2+6x+9\right)+2\left(y^2-4y+4\right)=2\left(x+3\right)^2+2\left(y-2\right)^2\ge0\)

Vậy MIN C=0 khi và chỉ khi x+3=y-2=0 suy ra x=-3;y=2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

\(\frac{a}{a+1}=1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

tương tự ta có

 \(\frac{b}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}};\frac{c}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

khi đó ta được

\(\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{\left(c+1\right)\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\Rightarrow ab\ge\frac{4.\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}{c+1}\)

Áp dụng tương tự ta được\(bc\ge\frac{4.\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{a+1};ca\ge\frac{4.\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}{b+1}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 

\(ab+bc+ca\ge\frac{4.\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}{c+1}+\frac{4.\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{a+1}+\frac{4.\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}{b+1}\)

mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có

\(\frac{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}{c+1}+\frac{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{a+1}+\frac{\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}{b+1}\ge3\)

suy ra \(ab+bc+ca\ge12\)vậy bất đẳng thức được chứng minh 

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\)

Đây là theo cách giải của mik nha:

lấy A.B = 2^(4n+2)+1 = 4.16^n+1
Mà 16^n luôn có đuôi bằng 6 hoặc 1 (khi n=0) với mọi n
=> 4.16^n luôn có đuôi bằng 4
=> A.B luôn có đuôi bằng 5
=> ĐPCM

Ta có:

A.B=2^(4n+2) + 1=2^(4n).2^(2) + 1=16^(n).4 + 1. Dễ dàng nhận thấy 16^n luôn có tận cùng bằng 6 => 16^(n).4 có tận cùng bằng 4=> 16^(n).4 + 1 có tận cùng bằng 5, chia hết cho 5 => Ít nhất có 1 số A hoặc B chia hết cho 5. Mặt khác A - B= 2.2^(n+1) = 2^(2n+1), ko chia hết cho 5 với mọi n => A và B ko thể đồng thời chia hết cho 5. Kết hợp => Đpcm.