Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của hình học:

1. Đối với tam giác vuông $ADE$, ta có $AH\cdot AO=AD\cdot AE$, theo định lí Euclid.
2. Nếu $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp, thì tứ giác $ABCD$ có tứ giác nội tiếp khác nếu và chỉ nếu tổng các góc đối diện của nó bằng 180∘180∘.
3. Hai tia song song cắt bởi một đường thẳng sẽ tạo thành các góc tương đương.

Giờ ta sẽ đi chứng minh từng câu hỏi:

1. Vì $AH$ và $AO$ là hai tia phát ra từ một điểm $A$, $AD$ và $AE$ là đoạn thẳng nằm trên đường thẳng $AO$, nên theo tính chất của tỉ số đồng dạng trong tam giác, ta có $AH\cdot AO=AD\cdot AE$.
2. Ta thấy ∠𝐷𝑂𝐻=90∘∠DOH=90∘ (do $DO$ song song với $BE$, và $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$), và ∠𝐷𝐸𝑂=90∘∠DEO=90∘ (do $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$). Vậy tứ giác $DHOE$ là tứ giác nội tiếp.
3. Ta có thể chứng minh $A$, $P$, $K$ thẳng hàng bằng cách sử dụng tính chất của góc phụ tại điểm.

Trong hình vẽ, ta có:

• Điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $O$.
• $B$ và $C$ là hai tiếp điểm của đường tròn $O$.
• $D$ và $E$ là hai điểm cắt của tiếp tuyến $AD$ và $AE$ với $BC$.
• $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$.
• $P$ và $Q$ là các điểm trên $AB$ và $AC$ tương ứng.
• $K$ là điểm giao của $AP$ và $DQ$.
• $I$ là giao điểm của $AD$ và $BE$.

Bạn có thể sử dụng hình vẽ này để hiểu rõ hơn về bài toán.

\(\dfrac{2009\text{x}2009\text{x}20082008-2008\text{x}2008\text{x}20092009}{2008\text{x}20072007}\)

\(=\dfrac{2009\text{x}2009\text{x}2008\text{x}10001-2008\text{x}2008\text{x}2009\text{x}10001}{2008\text{x}2007\text{x}10001}\)

\(=\dfrac{2008\text{x}2009\text{x}10001\text{x}\left(2009-2008\right)}{2008\text{x}2007\text{x}10001}\)

\(=\dfrac{2009}{2007}\)

Để giải bài toán này, ta có thể bắt đầu bằng cách rút gọn biểu thức ở tử số và mẫu số:

Sau đó, ta thấy có thể chia cả tử số và mẫu số cho $2008$ để tạo ra một biểu thức đơn giản hơn:

Tiếp theo, ta thấy có thể rút gọn $2008$ trong mẫu số:

Từ đây, ta có thể thấy rằng $2008$ sẽ được hủy trong tử số và mẫu số, để lại:

Cuối cùng, ta nhận thấy có thể rút gọn $2009$ trong mẫu số với một phân số dạng khác:

Vậy, kết quả cuối cùng là: