a = 11111...111(2n chứ số 1) = \(\frac{10^{2n}-1}{9}\)

b = 22222...222(n chữ số 2) = \(\frac{2\left(10^n-1\right)}{9}\)

a - b = \(\frac{10^{2n}-1}{9}-\frac{2.10^n-2}{9}=\frac{10^{2n}-1-2.10^n+2}{9}\)

\(=\frac{10^{2n}-2.10^n+1}{9}=\frac{\left(10^n-1\right)^2}{3^2}=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)^2\)là số chính phương

=> đpcm

Ta có :

b = 22222...22222 ( n chữ số 2 ) = 2m

a = 11111...111 ( 2n chữ số 1 ) = 10ⁿ . 11111...111 ( n chữ số ) + 11...1111 ( n chữ số )

\(=\left(9m+1\right)m+m=9m^2+2m\) 

Lấy vế a trừ vế b ta được  \(9m^2+2m-2m=9m^2=\left(3a\right)^2\) là SCP 

=> Đpcm

Câu b) khó hiểu, ko có dấu "=" nhaaaa !!!!!!

\(B=3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\frac{a}{b}+\frac{b}{a+b}\ge3.2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a+b}=6+\frac{a}{b}+\frac{b}{a+b}>6+0+0=6\)

Vậy ta thấy \(B>6\)

=> Ko có dấu "=" xảy ra.

a) ( x - 3 )( x + 3 )( x + 2 ) - ( x - 1 )( x² - 3 ) - 5x( x + 4 )² - ( x - 5 )²

= ( x² - 3² )( x + 2 ) - ( x³ - x² - 3x + 3 ) - 5x( x² + 8x + 16 ) - ( x² - 10x + 25 )

= x³ + 2x² - 9x - 18 - x³ + x² + 3x - 3 - 5x³ - 40x² - 80x - x² + 10x - 25

= ( x³ - x³ - 5x³ ) + ( 2x² + x² - 40x² - x² ) + ( -9x + 3x + 10x - 80x ) + ( -18 - 3 - 25 )

= -5x³ - 38x² - 76x - 46 

b) 2x( x - 4 )² - ( x + 5 )( x - 2 )( x + 2 ) + 2( x + 5 )² - ( x - 1 )²

= 2x( x² - 8x + 16 ) - ( x + 5 )( x² - 4 ) + 2( x² + 10x + 25 ) - ( x² - 2x + 1 )

= 2x³ - 16x² + 32x - ( x³ + 5x² - 4x - 20 ) + 2x² + 20x + 50 - x² + 2x - 1

= 2x³ - 16x² + 32x - x³ - 5x² + 4x + 20 + 2x² + 20x + 50 - x² + 2x - 1

= ( 2x³ - x³ ) + ( -16x² - 5x² + 2x² - x² ) + ( 32x + 4x + 20x + 2x ) + ( 20 + 50 - 1 )

= x³ - 20x² + 58x + 69

c) ( x + 5 )² - 4x( 2x + 3 )² - ( 2x - 1 )( x + 3 )( x - 3 )

= x² + 10x + 25 - 4x( 4x² + 12x + 9 ) - ( 2x - 1 )( x² - 9 )

= x² + 10x + 25 - 16x³ - 48x² - 36x - ( 2x³ - x² - 18x + 9 )

= x² + 10x + 25 - 16x³ - 48x² - 36x - 2x³ + x² + 18x - 9

= ( -16x³ - 2x³ ) + ( x² - 48x² + x² ) + ( 10x - 36x + 18x ) + ( 25 - 9 )

= -18x³ - 46x² - 8x + 16

d) -2x( 3x + 2 )( 3x - 2 ) + 5( x + 2 )² - ( x - 1 )( 2x + 1 )( 2x - 1 )

= -2x( 9x² - 4 ) + 5( x² + 4x + 4 ) - ( x - 1 )( 4x² - 1 )

= -18x³ + 8x + 5x² + 20x + 20 - ( 4x³ - 4x² - x + 1 )

= -18x³ + 8x + 5x² + 20x + 20 - 4x³ + 4x² + x - 1

= ( -18x³ - 4x³ ) + ( 5x² + 4x² ) + ( 8x + 20x + x ) + ( 20 - 1 )

= -22x³ + 9x² + 29x + 19

Ta có:63^2-47^2=3969-2209=1760

215^2-105^2=46225-11025=35200

ks nhé!Học tốt!

ĐẶT: \(A=x^2\left(x+1\right)+y^2\left(1-y\right)\)

=> \(A=x^3-y^3+x^2+y^2\)

=> \(A=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+x^2+y^2\)

Mà \(x-y=3\)

=> \(\left(x-y\right)^2=9\)

=> \(x^2+y^2-2xy=9\)

=> \(x^2+y^2=13\)

Thay: \(x^2+y^2=13;xy=2;x-y=3\) vào A ta được: 

=> \(A=3\left(13+2\right)+13=3.15+13=58\)

Đề câu 2 có sai không vậy

CÂU 2 ĐỀ SAI THÌ PHẢI, THEO MÌNH THÌ ĐƯỢC CÁI NÀY !!!!!!

Cộng lần lượt từng vế của 3 pt lại:

=> \(\left(a+b+c\right)\left(x+y\right)=a+b+c\)

=> \(a+b+c=0\)

(CHỖ NÀY ĐỀ BÀI CHO THIẾU x+y khác 1 nữa nhé)

=> 

\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3=\left(-c\right)^3-3ab.\left(-c\right)+c^3=-c^3+c^3+3abc=3abc\)

TỚ CHỈ CM ĐC \(a^3+b^3+c^3=3abc\)   thoy nhaaaaaaa

a. \(\left(x-5\right)^2-16=x^2-10x+25-16=x\left(x-1\right)-9\left(x-1\right)=\left(x-9\right)\left(x-1\right)\)

b. \(25-\left(3-x\right)^2=25-9+6x-x^2=-x^2-2x+8x+16=-x\left(x+2\right)+8\left(x+2\right)\)

\(=-\left(x-8\right)\left(x+2\right)\)

c. \(\left(7x-4\right)^2-\left(2x+1\right)^2=49x^2-56x+16-4x^2-4x-1=45x^2-60x+15\)

\(=15\left(3x^2-4x+1\right)=15\left(3x-1\right)\left(x-1\right)\)

a) ( x - 5 )² - 16 = ( x - 5 )² - 4² = ( x - 5 - 4 )( x - 5 + 4 ) = ( x - 9 )( x - 1 )

b) 25 - ( 3 - x )² = 5² - ( 3 - x )² = [ 5 - ( 3 - x ) ][ 5 + ( 3 - x ] = [ 2 + x ][ 8 - x ]

c) ( 7x - 4 )² - ( 2x + 1 )² = [ 7x - 4 - ( 2x + 1 ) ][ 7x - 4 + ( 2x + 1 ) ] = [ 5x - 5 ][ 9x - 3 ]

d) 49( y - 4 )² - 9( y + 2 )² = 7²( y - 4 )² - 3²( y + 2 )²

                                          = [ 7( y - 4 ) ]² - [ 3( y + 2 ) ]²

                                          = [ 7y - 28 ]² - [ 3y + 6 ]²

                                          = [ 7y - 28 - ( 3y + 6 ) ][ 7y - 28 + ( 3y + 6 ) ]

                                          = [ 4y - 34 ][ 10y - 22 ]

e) 8x³ + 1/27 = ( 2x )³ + ( 1/3 )³ = ( 2x + 1/3 )( 4x² - 2/3x + 1/9 )

f) 125 - x⁶ = 5³ - ( x² )³ = ( 5 - x² )( 25 + 5x² + x⁴ )

Thay \(1=a+b+c\)  vào vế phải của BĐT

=> BĐT cần CM trở thành:

<=> \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{2a+b+c}{b+c}+\frac{2b+c+a}{c+a}+\frac{2c+a+b}{a+b}\)

<=> \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+3\)

<=> \(2\left(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b}\right)\ge3\)

<=> \(\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{ab}{c\left(c+a\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)

<=> \(\frac{a^2b^2}{abc\left(c+a\right)}+\frac{b^2c^2}{abc\left(a+b\right)}+\frac{c^2a^2}{abc\left(b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\)     (1)

Có:   \(VT\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)    (2)

(TA ĐàÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ)

TỪ (1) VÀ (2) => TA CÓ ĐPCM