cho x>z , y>z>0

CMR \(\sqrt{\left(x-z\right)z}\)+\(\sqrt{z\left(y-z\right)}\)\(\le\)\(\sqrt{xy}\)

Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+=1. Chứng minh rằng \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ac}{b+ac}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{4}\)

cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

\(\left(a^2+2bc-1\right)\left(b^2+2ac-1\right)\left(c^2+2ab-1\right)\)

Cho phương trình: \(2x^2-2\left(2+m\right)x+8-4m=3\sqrt{x^3+8}\)

Xác định m để phương trình có nghiệm

Cho tam giác ABC thỏa mãn

\(BC^2=AB+\frac{AC}{2}\)

Lấy điểm P trên Ab sao cho tỉ lệ 3 : 1 .

Chứng minh rằng \(\widehat{PAC}=2\widehat{CPA}\)

Giải pt sau :

\(\frac{2x}{2x^2-5x+3}+\frac{13x}{2x^2+x+3}=6\)        

đường tròn (O,R). Điểm M ở ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB. nối OM cắt AB tại H. Hạ HD vuông góc với MA tại D. Điểm C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn ( O,R) cắt MA, MB lần lượt tại E và F

1. Cminh MAOB nội tiếp

2. Cminh OH.OM=OA^2

3. Tính theo R chu vi MEF

gọi H là trực tâm vàAB ,BN,CM là các đường cao của tam giác nhọn ABC .Chứng minh tứ giác AMHN,BMNC nội tiếp được đường tròn

cho hệ phương trình: x+my=m+1

                                   mx+y=2m

a) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) với x,y là những số nguyên

b)Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m