...............................................................................................................

..................................................................................................................

.............................................................................................................

các bạn tham khảo nha

Ta có : góc BAM = góc CAM ( AM là tia phân giác của góc BAC )

Suy ra cung BM = cung CM (1)

Lại có : góc DAM = 1/2 sđ góc ACM ( góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung

Hay góc DAM = sđ cung AC + sđ cung CM/2 (2)

Gọi K là giao điểm của BC và AM

Vì góc AKC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn (O) nên :

góc AKC = sđ cung AC + sđ cung BM/2 (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra góc DAM = góc AKC hay góc DAK = góc AKB

có sđ MN + sđ PQ = 1/2 sđ AB + 1/2 sđ BC + 1/2 sđ CD + 1/2 sđ AD = 180 độ 

mà MIN = 1/2 ( sđ MN + sđ PQ ) 

nên MIN = 90 độ => MI vuông góc NI hay MP vuông góc với NQ 

Có sđ MN +sđPQ=1/2sđAB+1/2sđBC +1/2sđCD+1/2sđAD=180độ 

mà MIN =1/2(sđMN+sđPQ)

Nên MIN=90độ =>MI vuông góc MI 

Hay MQ vuông góc NP 

150

ta có: AHD = 1/2( sđAD + sđBE)

BKE = 1/2( sđDC + sđBE ) 

Mà : sđAD = sđDC ( BD là tia phân giác )

=> AHD = BKE 

Ta có ADH = 1/2 (sđAD + sđBE)

BKE = 1/2 (sđDC + sđBE)

Mà DC=AD

⇒ ADH=BKE

Đặt \(\left(b+c,c+a,a+b\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)thì \(x,y,z>0\)và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{25\left(z+x-y\right)}{2y}+\frac{4\left(x+y-z\right)}{2z}>2\)

Xét \(VT=\left(\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{25x}{2y}-\frac{25}{2}\right)+\left(\frac{2x}{z}+\frac{2y}{z}-2\right)\)\(=\left(\frac{y}{2x}+\frac{25x}{2y}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{2y}{z}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{2x}{z}\right)-15\)\(\ge2\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{25x}{2y}}+2\sqrt{\frac{25z}{2y}.\frac{2y}{z}}+2\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{2x}{z}}-15=2\)(BĐT Cauchy)

Đẳng thức xảy ra khi \(10x=2y=5z\)hay \(10\left(b+c\right)=2\left(c+a\right)=5\left(a+b\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10b+8c=2a\\5b+10c=5a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a=10b+8c\\2a=2b+4c\end{cases}}\Leftrightarrow8b+4c=0\)(Vô lí vì 8b + 4c > 0 với mọi b,c dương)

Vậy dấu bằng không xảy ra

em chao chi a

 I C B D O E

.Ta có :$IC$ là tiếp tuyến của (O)
$\backslash (\backslash Rightarrow\backslash widehat\{CIE\}=\backslash widehat\{IBC\}\backslash )$
 

$\mathrm{\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )\Delta }ICE\sim \Delta IBC(g.g)\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )\frac{IE}{IC}=\frac{IC}{IB}$

$\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )I{C}^2=IE.IB$

Ta có : $BD//AC\backslash (\backslash Rightarrow\backslash widehat\{IAE\}=\backslash widehat\{EDB\}=\backslash widehat\{ABE\}\backslash )$

$\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )\Delta AIE\sim \Delta BIA(g.g)\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )\frac{AI}{BI}=\frac{IE}{IA}\backslash (\backslash Rightarrow\backslash )I{A}^2=IB.IE$

$\to I{A}^2=I{C}^2\to IA=IC\to I$ là trung điểm AC

Dễ có IC là tiếp tuyến của đường tròn nên IC² = IB.IE (1)

Theo tính chất của góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta có: ^EBA = ^BDA

Lại có: ^BDA = ^DAC (BD//AC, hai góc so le trong)

Từ đó suy ra ^EBA = ^DAC

∆AIE và ∆BIA có: ^AIB là góc chung, ^EBA = ^DAC (cmt) nên ∆AIE ~ ∆BIA (g.g)

=>\(\frac{IA}{IE}=\frac{IB}{IA}\Rightarrow IA^2=IB.IE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra IA² = IC² hay IA = IC

Vậy I là trung điểm của AC (đpcm)

Kẻ tiếp tuyến tại A. Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại A với dây BC.

Ta có: EM=EA và \(\widehat{EAM}=\widehat{EMA}\)( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{EAB}+\widehat{BAM}=\widehat{ECA}+\widehat{CAM}\)

Mà \(\widehat{EAB}=\widehat{ECA}\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) hay AM là phân giác góc BAC( đpcm)

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D

Suy ra: AD ⊥ BD

Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD

Suy ra: EC ⊥ AD     (1)

Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên vuông tại I

Suy ra: AI ⊥ CE     (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI

Vậy D, A, I thẳng hàng.

A C B D E I O

a) Cùng bằng AD/AB=AD/AC.

b) tam giác BIE có góc AIB là góc ngoài nên góc AIB=góc IBE+góc IEB

mà góc IBE=IBD (gt) và góc IEB=góc ABD suy ra góc AIB=góc ABD+góc IBD=góc ABI

nên tam giác ABI cân tại A suy ra AI=AB=AC.

c)từ câu a) ta có BD/BE=CD/CE=DI/IE (do BI phân giác góc DBE)

suy ra CI phân giác góc DCE.

ABD =1/2 sđ BD (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )

BED =1/2 sđ BD (góc nội tiếp) 

=> ABD=BED

ΔABD~ΔAEB

VÌ {BAD chung

     ABD=BED

=>AB/AE = AD/AB=>AB^2= AD.AE