Trình tự dựng gồm 3 bước:

- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm

- Dựng cung chứa góc 40^o trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH' = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH' tại H

Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là , . Khi đó tam giác ABC hoặc A'BC đều thỏa yêu cầu của đề toán

Cách dựng:

+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

+ Dựng cung chứa góc 40º trên đoạn thẳng BC (tương tự bài 46) :

Dựng tia Bx sao cho 

Dựng tia By ⊥ Bx.

Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

Dựng đường tròn (O; OB).

Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC.

+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm:

Lấy D là trung điểm BC.

Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 4cm.

Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.

Ta được ΔABC cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC

+ A ∈ d song song với BC và cách BC 4cm

⇒ AH = DD’ = 4cm.

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Tam giác \(ABO\)vuông tại \(O\). Do đó điểm \(O\)luôn thuộc đường tròn đường kính \(AB\)(trừ 2 điểm \(A\)và \(B\)).

A B C D O

Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc 90^o.

Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB

Trình tự dựng như sau:

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm)

- Dựng góc  = 55^o (dùng thước đo góc và thước thẳng)

- Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke)

- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chi khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta có: là cung chứa góc 55^odựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung)

Dựng đoạn thẩng AB bằng 3cm dựng góc xAB =55* dựng tia AY vuông góc vs tia Ax dựng đg trung trực d của đoạn thẳng AB/ d cắt Ay tại O . Dựng đg tròn tâm O bán kính OA  cung AmB  là góc 55 độ cần dựng

Đk: \(\forall\)x \(\in\)R

\(x^2+5x+\sqrt{x^2+5x+30}=12\)

<=> \(x^2+5x+30+\sqrt{x^2+5x+30}-42=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2+5x+30}=a\)(a > 0) <=> \(x^2+5x+30=a^2\)

Khi đó, ta có: \(a^2+a-42=0\)

<=> \(a^2+7a-6b-42=0\)

<=> \(\left(a-6\right)\left(a+7\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=6\left(tm\right)\\a=-7\left(ktm\right)\end{cases}}\)

<=> \(\sqrt{x^2+5x+30}=6\)

<=> \(x^2+5x+30=36\)

<=> \(x^2+5x-6=0\)

<=> \(x^2+6x-x-6=0\)

<=> \(\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-6\\x=1\end{cases}}\)

Vậy S = {-6; 1}

\(ĐKXĐ:x\inℝ\)

\(x^2+5x+\sqrt{x^2+5x+30}=12\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+30+\sqrt{x^2+5x+30}=42\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+30\right)+\sqrt{x^2+5x+30}-42=0\)(1)

Đặt \(\sqrt{x^2+5x+30}=a\)( \(a\ge0\))

\(\Rightarrow x^2+5x+30=a^2\)

Từ (1) \(\Rightarrow a^2+a-42=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-6a+7a-42=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-6\right)+7\left(a-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-6\right)\left(a+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-6=0\\a+7=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=6\\a=-7\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=-7\)loại vì \(a\ge0\)

\(\Rightarrow a=6\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+5x+30}=6\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+30=36\)\(\Leftrightarrow x^2+5x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+6x-6=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+6\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+6=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-6\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1;-6\right\}\)

4 tia vì 2 + 2 = 4

có C = 1/2 ( sđ AN- sđ MB ) 

D= = 1/2 ( sđ AM - sđ NB ) 

mà góc C= D 

nên sđ AN - sđ MB = sđ AM - sđ NB 

=> sđ AN + sđ NB = sđ MB + sđ AM 

=> sđAB = sđ AB 

=> AB là đường kính của đg tròn ( O ) 

khi đó AMB = ANB = 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đg tròn ) mà MD , CN , AB giao nhau tại B => B là trực tâm tgiac ACD => AB vuông góc CD 

Có C=1/2(sđAN-sđMB)

D=1/2(sđAM-sđNB)

Mà góc C =D 

Nên sđAN-sđMB=sđAM-sđNB

=>sđAN+sđNB=sđMB+sđAM 

=>sđAB=sđAB

=>AB là đường kính đường tròn (O)

khi đó AMB=ANB=90độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) mà MD, CN, AB giao nhau tại B => B là trực tâm tam giác ACD => AB vuông góc CD

có sđ AB = sđ BC = sđ CD 

mà BIC = 1/2 ( sđ AD - sđ BC ) =1/2 ( sđ BD - sđ AB -sđ BC )

BKD = 1/2 ( sđ BD - sđ BC-sđ CD )

nên BIC=BKD

b,KBC = CDB ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung CD)

mà CDB = CBD ( BC = CD )

nên KBC = CBD => BC là tia pg của KBD

A) 

Vì góc BIC có đỉnh nằm ngoài đường tròn
nên: góc BIC = \(\dfrac{sđAD-sđBC}{2}\) 
Mà: sđAD = \(\dfrac{sđBD+sđAB}{2}\) ; sđBC = sđ AB = sđCD
=> góc BIC = \(\dfrac{sđBD+sđAB-sđAB}{2}\) = \(\dfrac{sđBD}{2}\) (1)
Ta có: góc BKD = \(\dfrac{sđBD}{2}\) (2)
từ (1) và (2) => góc BIC = góc BKD

B)

Vì góc KBC và góc BDC cùng chắn cung BC 
=> góc KBC = góc BDC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung )
Ta có: sđBC = sđCD (gt)
nên: góc BDC = góc DBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Vậy góc KBC = góc DBC (cùng bằng góc BDC)
hay: BC là tia phân giác của góc DBK

gọi AB giao ( T ) tại K

có AD là tia phân giác của BAC => sđ cung KD = sđ MD 

mà PBE = 1/2 ( sđ MD - sđ PD) =1/2 ( sđ KD-sđ PD ) =1/2 sđ KP = BAE 

khi CM đc tam giác ABE ~ tam giác BPE ( g - g)

=> BE² = EP.EA

gọi AB giao (T) tại K 

Có AD là tia phân giác của BAC =>sđ cung KD= sđ MD 

Mà PBE =1/2(sđMD-sđPD)=1/2(sđKD-sđPD)=1/2sđKP=BA

Ta CM được : tam giác ABE~tam giác BPE(g.g)

=>BE^2=EP.EA 

a) ta có : 

P là điểm chính giữa cung AC

=> cung AP = cung PC

N là điểm chính giữa cung BC

=> cung NB = NC

Mà : góc IBN = 1/2 cung PN = 1/2 (cung PC + cung CN )

        góc BIN = 1/2 ( cung BN + AP ) 

mà cung PC = cung AP 

      cung BN = cung CN

=> IBN = BIN

=> tam giác IBN là tam giác cân 

b) ta có : N là điểm chính giữa của cung BC 

=>MN là tia phân giác của góc BAC

=> EB/AE=BN/AN

=> đpcm

c) ta có : BNI cân 

NM là tia phân giác 

=> NM cũng là tia trung trực 

=> EBN = EIN 

MÀ IBN = BIN ( tam giác cân ) 

=> EBI=EIB (1) 

=> tam giác EBI cân 

mà P là điểm chính giữa cung AC

=> BP là đường phân giác của góc EBN

=> EBP = IBN hay EBI=IBN (2) 

từ (1) và (2) => IBN=EIB

mà 2 góc ở vị trí slt => EI//BC

d) Xét tam giác BAN và tam giác BDN

có N chung 

   góc BAN = BDN ( cùng chắn cung BN )

=> tam giác BAN đồng dạng tam giác BDN 

=> đpcm

a, CM BIN=IBN = 1/2 sđ PN => tam giác BIN cân tại N 

b, CM đc MN vuông góc với BP mà tam giác BIN cân tại N => MN là đường trung trực của BI , E thuộc MN => BE=BI và EN là tia pg của BEI  

CM tam giác AEN ~ tam giác IEN ( g-g) =>AE.IN = EI.AN => AE.BN = EB.AN

c, CM đc EBP = PBC mà EBI =EIB nên EIB = IBD mà 2 góc này ở vị trí slt=> EI //BC

d, CM tam giác ABN~ tam giác BDN ( g-g) => AN/BN = AB /BD \dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}

+) Ta có: ^ACD = ^ACB + ^BCD; ^AEC = ^ABC + ^BAD

Mà ^ACB = ^ABC (∆ABC cân tại A); ^BCD = ^BAD (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

nên ^ACD = ^AEC (1)

+) Dễ có: ∆AEB ~ ∆CED (g.g) nên \(\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}\)(2)

Từ (1) và (2), ta có: ^ACD = ^AEC và \(\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}\)nên ∆AEC ~ ACD (c.g.c)

\(\Rightarrow\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AC^2=AE.AD\)(đpcm)

vì AB =AC => sđ cung AB = sđ cung AC 

=> 1/2 ( sđ CD + sđ AB ) =1/2 ( sđ CD + sđ AC ) 

=> AEB = 1/2 sđ AD =ABD 

CM tam giác ABD ~ tam giác AEB ( g-g) => AC^2 = AD.AE