Ta có:

a + b + c = 0 
<=> (a + b + c)² = 0 
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0 
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1) 

Cần chứng minh: 

2(a^4 + b^4 + c^4) = (a² + b² + c²)² 

<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) ) 

<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1)) 

<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²) 

<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0 

<=> 8abc.(a + b + c) = 0 

<=> 0 = 0 (đúng), (Vì a + b + c = 0 )

=> Đpcm

a) Gọi biểu thức trên là A.Ta có:

\(A=2x^2+5x+1=\left(2x^2+5x\right)+1\)

\(=2\left(x^2+\frac{5}{2}x\right)+1=2\left(x^2-2.\frac{-5}{4}+\frac{25}{16}\right)+1\)

\(=2\left(x+\frac{5}{4}\right)^2-\frac{17}{8}\)

Mà \(2\left(x+\frac{5}{4}\right)^2\ge0\forall x\) nên \(A=2\left(x+\frac{5}{4}\right)^2-\frac{17}{8}\ge-\frac{17}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x+\frac{5}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{5}{4}\)

Vậy \(A_{min}=-\frac{17}{8}\Leftrightarrow x=-\frac{5}{4}\)

b) Gọi biểu thức trên là B.

Ta có: \(B=2x^2-5x+1=\left(2x^2-5x\right)+1\)

\(=2\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)+1=2\left(x^2-2.\frac{5}{4}x+\frac{25}{16}\right)+1\)

\(=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{17}{8}\)

Vì \(2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2\ge0\) với mọi x.Nên \(B=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{17}{8}\ge-\frac{17}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)

Vậy \(B_{min}=-\frac{17}{8}\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)

(x² - 3)² + 16

= (x²-3)² + 2.4(x²-3) + 4² - 8.(x²-3)

= (x²-3+4)² - 8.(x²-3)

\(=\left(x^2+1\right)^2-\left(\sqrt{8.\left(x^2-3\right)}\right)^2.\)

\(=\left(x^2+1-\sqrt{8.\left(x^2-3\right)}\right).\left(x^2+1+\sqrt{8.\left(x^2-3\right)}\right)\)

CÔNG CHÚA ÔRI sai rồi nhé bạn!

\(\left(x^2-3\right)^2+16=x^4-6x^2+3^2+16=x^4-6x^2+25\)

\(=x^4-4x^3+5x^2+4x^3-16x^2+20x+5x^2-20x+25\)

\(=x^2\left(x^2-4x+5\right)+4x\left(x^2-4x+5\right)+5\left(x^2-4x+5\right)\)

\(=\left(x^2-4x+5\right)\left(x^2+4x+5\right)\)

nói ra cho mọi người biết

cứ coi như mik chưa thấy gì!

ta có: a³ + b³ + c³ - 3abc 

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + c³ - 3abc - 3a²b - 3ab²

= (a+b)³ + c³ - 3ab.(c+a+b)

= (a+b+c).[(a+b)² - (a+b).c + c² ] - 3ab.(a+b+c)

= (a+b+c).[ a² + 2ab + b² - ac - bc + c² ] - 3ab.(a+b+c)

= (a+b+c).[a² - 2ab + b² -ac-bc + c² - 3ab]

= (a+b+c).(a² + b² + c² - ab -ac-bc)

mà a + b + c = 0

=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

=> đpcm

Có:

a+b+c=0 => c=-(a+b) (1) 
Thay (1) vao a³+b³+c³ta có: 
a³+b³+[-(a+b)]³=3ab[-(a+b)] 
<=>a³+b³-(a+b)=-3ab(a+b) 
<=> a³+ b³- a³ -3a²b- 3ab²- b3= -3a²b- 3ab² 
<=> 0= 0 
vậy ta có đpcm.