\(P\left(x\right)=-x^2+2x+5=-\left(x^2-2x-5\right)\)

           \(=-\left(x^2-2.x.1+1^2-6\right)=-\left(x-1\right)^2+6=6-\left(x-1\right)^2\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\Rightarrow6-\left(x-1\right)^2\le6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x - 1 = 0 <=> x = 1

Vậy P(x)_max = 6 khi và chỉ khi x = 1

Gọi biểu thức trên là A.Ta có: \(A=-x^2+2x+5\)

\(=-x^2+2x-1+6\)

\(=-\left(x^2-2x+1\right)+6\)

\(=-\left(x-1\right)^2+6\)

Do \(-\left(x-1\right)^2\le0\forall x\Rightarrow A=-\left(x-1\right)^2+6\le6\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(A_{max}=6\Leftrightarrow x=1\)

\(x^4+x^2y^2+y^2\)

\(=x^4+2x^2y^2-x^2y^2+y^2\)

\(=\left(x^4+2x^2y^2+y^2\right)-x^2y^2\)

\(=\left(x^2+y\right)^2-x^2y^2\)

\(=\left(x^2+y-x^2y^2\right)\left(x^2+y+x^2y^2\right)\)

a³ + b³ + c³ - 3abc

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ) + c³ - 3abc - 3a²b - 3ab²

=[(a+b)³ + c³ ]- (3abc+3a²b+3ab²)

=(a+b+c)[(a+b)² - (a+b)c + c² ] - 3ab(c+a+b)

=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab)

=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

\(40^2-39^2+38^2-37^2+....+32^2-31^2\)

\(=\left(40-39\right)\left(40+39\right)+\left(38-37\right)\left(38+37\right)+...+\left(32-31\right)\left(32+31\right)\)

\(=40+39+38+37+....+32+31\)

Số số hạng của dãy trên là: (40-31):1+1= 10 (số)

Tổng trên là: (40+31) x 10 : 2 = 355

Vậy ....