Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{\frac{9}{4}}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{\frac{9}{4}}+\frac{16c^2}{a+b}+a+b\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}\cdot\frac{b+c}{\frac{9}{4}}}+2\sqrt{\frac{b^2}{c+a}\cdot\frac{a+c}{\frac{9}{4}}}+2\sqrt{\frac{16c^2}{a+b}\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a+4b}{3}+8c\)

Suy ra 

\(VT\ge\frac{4a+4b}{3}+8c-\frac{b+c}{\frac{9}{4}}-\frac{c+a}{\frac{9}{4}}-\left(a+b\right)=\frac{64c-a-b}{9}=VP\)

Dấu "=" khi \(a=b=2c\) 

Bài này bạn cũng chú ý tới dấu "=" là xong nhé.

Bạn chú ý tới dấu "=" của BĐT để tìm cách tách hợp lí nhé.

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=\frac{a^2\cdot2b}{2}\le\frac{\frac{\left(a+a+2b\right)^3}{27}}{2}=\frac{\frac{\left(2\left(a+b\right)\right)^3}{27}}{2}=\frac{4}{27}=VP\)

Dấu "=" khi \(\left(a;b\right)=\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)\)

b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=ab+\frac{1}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\)

\(\ge2\sqrt{ab\cdot\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)

\(\ge2\sqrt{ab\cdot\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{16\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)

Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

\(A=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{2}A=\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

                       \(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

                       \(=\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1\)

                       \(=2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\)\(A=\sqrt{6}\)   (đpcm)

\(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}\)

\(VT=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2}}+\sqrt{\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}}+\sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{1}\right)^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}\right)^2}{2}}\)

\(=\frac{\left|\sqrt{3}+\sqrt{1}\right|+|\sqrt{3}-\sqrt{1}|}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}\)

\(=VP\)

Vậy đẳng thức được chứng minh .

C A B H

a) Ta có:  \(AC^2+AB^2=4,5^2+6^2=56,25\)

                  \(BC^2=7,5^2=56,25\)

suy ra:  \(AC^2+AB^2=BC^2\)

hay  tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow\)\(AH=\frac{AB.AC}{BC}=3,6\)

b)  Áp dụng hệ thức lượng ta có:

   \(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow\)\(BH=\frac{AB^2}{BC}=4,8\)

\(\Rightarrow\)\(HC=BC-BH=7,5-4,8=2,7\)

ĐK:  \(x\ge0\);   \(x\ne4\)

\(\frac{-3\sqrt{x}+6}{-x+4\sqrt{x}-4}\)

\(=-\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{-\left(\sqrt{x}-2\right)^2}\)

\(=\frac{-3}{2-\sqrt{x}}\)

\(\frac{-3\sqrt{x}+6}{-x+4\sqrt{x}-4}\)

\(=\frac{3\sqrt{x}-6}{x-4\sqrt{x}+4}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}\)

\(=\frac{3}{\sqrt{x}-2}\)

a)\(\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}\)có nghĩa khi \(\frac{x-2}{x+3}\)\(\ge0\)

TH1: \(x-2\ge0\)và  \(x+3\ge0\)                               TH2:\(x-2\le0\) và \(x+3\le0\)

\(\Leftrightarrow x\ge2\)                \(\Leftrightarrow x\ge-3\)                                      \(\Leftrightarrow x\le2\)      \(\Leftrightarrow x\le-3\)

\(\Rightarrow x\ge2\)                                                                                         \(\Rightarrow x\le-3\)

Vậy vs \(x\ge2\)và\(x\le-3\)thì \(\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}\)có nghĩa

b)Để \(\frac{4-x}{x^2-25}+\sqrt{-x-7}\)có nghĩa thì:

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\\-x-7\ge0\end{cases}-25\ne0}\)   \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne5\\x\le-7\end{cases}}\)

Vậy vs \(x\le-7\) và \(x\ne5\)thì \(\frac{4-x}{x^2-25}+\sqrt{-x-7}\)có nghĩa