a) ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne2\\x\ne-4\end{cases}}\)

\(A=\frac{3}{x+4}-\frac{x\left(x-1\right)}{x+4}\times\frac{2x-5}{x\left(x-2\right)\left(x+4\right)}-\frac{17}{\left(x+4\right)^2}\)

\(=\frac{3\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)^2}-\frac{x\left(x-1\right)\left(2x-5\right)}{\left(x+4\right)x\left(x-2\right)\left(x+4\right)}-\frac{17}{\left(x+4\right)^2}\)

\(=\frac{3x+12}{\left(x+4\right)^2}-\frac{\left(x-1\right)\left(2x-5\right)}{\left(x+4\right)^2\left(x-2\right)}-\frac{17}{\left(x+4\right)^2}\)

\(=\frac{\left(3x+12\right)\left(x-2\right)}{\left(x+4\right)^2\left(x-2\right)}-\frac{2x^2-7x+5}{\left(x+4\right)^2\left(x-2\right)}-\frac{17\left(x-2\right)}{\left(x+4\right)^2\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{3x^2+6x-24-2x^2+7x-5-17x+34}{\left(x+4\right)^2\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{x^2-4x+5}{\left(x+4\right)^2\left(x-2\right)}=\frac{x^2-4x+5}{x^3+6x^2-32}\)

b) \(18A=1\)

<=> \(18\times\frac{x^2-4x+5}{x^3+6x^2-32}=1\)( ĐK : \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne2\\x\ne-4\end{cases}}\))

<=> \(\frac{x^2-4x+5}{x^3+6x^2-32}=\frac{1}{18}\)

<=> 18( x² - 4x + 5 ) = x³ + 6x² - 32

<=> 18x² - 72x + 90 = x³ + 6x² - 32

<=> x³ + 6x² - 32 - 18x² + 72x - 90 = 0

<=> x³ - 12x² + 72x - 122 = 0

Rồi đến đây chịu á :) 

Ý lộn == là \(\frac{x^2-2x}{x+4}\)ạ ==

\(ĐK:x\ne-4\)

Xét biểu thức

\(A=\frac{x}{\left(x+4\right)^2}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{x}{x^2+8x+16}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{16x-x^2-8x-16}{16\left(x^2+8x+16\right)}+\frac{1}{16}=\frac{-x^2+8x-16}{16\left(x+4\right)^2}+\frac{1}{16}=\frac{-\left(x-4\right)^2}{16\left(x+4\right)^2}+\frac{1}{16}\)Vì \(x\ne-4\)nên \(16\left(x+4\right)^2>0\forall x\Rightarrow\frac{-\left(x-4\right)^2}{16\left(x+4\right)^2}\le0\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{-\left(x-4\right)^2}{16\left(x+4\right)^2}+\frac{1}{16}\le\frac{1}{16}\forall x\)

Vậy \(MaxA=\frac{1}{16}\) khi và chỉ khi x = 4

Hôm qua không biết làm, giờ biết làm rồi '-'

Nhờ Idol check lại hộ mình nha.

                                                                                                      Giải: 

Đặt\(\frac{1}{x+4}=t\)

\(\Rightarrow x+4=\frac{1}{t}\Rightarrow x=\frac{1}{t}-4\)

Khi đó \(A=\frac{\frac{1}{t}-4}{\left(\frac{1}{t}\right)^2}=\left(\frac{1}{t}-4\right).t^2\)

\(\Leftrightarrow A=t=4t^2\Leftrightarrow A=-4\left(t^2-\frac{1}{4}t\right)\)

\(\Leftrightarrow A=-4\left(t^2-2.\frac{1}{8}t+\frac{1}{64}-\frac{1}{64}\right)\Leftrightarrow A=-4\left(t-\frac{1}{8}\right)^2+\frac{1}{16}\)

Ta có : \(-4\left(t-\frac{1}{8}\right)^2+\frac{1}{16}\le\frac{1}{16}\forall t\)

=> Min_A=\(\frac{1}{16}\Leftrightarrow t-\frac{1}{8}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{8}\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x+4=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8\Leftrightarrow x=4\)

Vậy Min_A=\(\frac{1}{16}\)<=> x=4

Thử với n = 2 thì đề sai, mà hình như với mọi n chẵn thì đề sai :v 

Vì \(x.y=2\)\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=x^2-2xy+y^2=10\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=10+2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=10+2.2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=14\)

( x - y )² = 10

<=> x² - 2xy + y² = 10

<=> x² + y² - 2.2 = 10

<=> x² + y² - 4 = 10

<=> x² + y² = 14

\(n^4-10n^2+9=\left(n^4-9n^2\right)-\left(n^2-9\right)\)

\(=n^2.\left(n^2-9\right)-\left(n^2-9\right)=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Vì n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)( \(k\inℤ\))

\(\Rightarrow n^4-10n^2+9=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k.\left(2k+2\right).\left(2k-2\right).\left(2k+4\right)\)

\(=16.k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

\(=16.\left(k-1\right).k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)\)

Vì \(k-1\); \(k\); \(k+1\); \(k+2\)là 4 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left(k-1\right).k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)⋮24\)

\(\Rightarrow16.\left(k-1\right).k.\left(k+1\right).\left(k+2\right)⋮384\)

hay \(n^4-10n^2+9⋮384\)( đpcm )

+) \(B=2x^2-4x+1\)

\(\Leftrightarrow B=2\left(x^2-2x+\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=2\left(x^2-2x+1-\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=2\left(x-1\right)^2-1\ge-1\)

Min B = -1 \(\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

B = 2x² - 4x + 1

= 2( x² - 2x + 1 ) - 1

= 2( x - 1 )² - 1 ≥ -1 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 1

=> MinB = -1 <=> x = 1

D = -3x² - 6x + 9 ( vầy chứ nhỉ ? )

= -3( x² + 2x + 1 ) + 12

= -3( x + 1 )² + 12 ≤ 12 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -1

=> MaxD = 12 <=> x = -1

\(x^3-19x-30=\left(x^2-2x-15\right)\left(x+2\right)=\left(x-5\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)\)

x³ - 19x - 30

Để thuận tiện hơn ta xài Bézout nhé :3

Thử với x = 5 ta có : 5³ - 19.5 - 30 = 0

Vậy x = 5 là nghiệm của đa thức. Theo hệ quả của định lí Bézout thì đa thức trên chia hết cho x - 5

Thực hiện phép chia x³ - 19x - 30 cho x - 5 ta được x² + 5x + 6

=> x³ - 19x - 30 = ( x - 5 )( x² + 5x + 6 )

Lại có x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x( x + 2 ) + 3( x + 2 ) = ( x + 2 )( x + 3 )

=> x³ - 19x - 30 = ( x - 5 )( x + 2 )( x + 3 )

x⁴ + 4x² - 5

= ( x⁴ + 4x² + 4 ) - 9

= ( x² + 2 )² - 3²

= ( x² + 2 - 3 )( x² + 2 + 3 )

= ( x² - 1 )( x² + 5 )

= ( x - 1 )( x + 1 )( x² + 5 )

\(x^4+4x^2-5\)

\(=x^4+4x^2+4-9\)

\(=\left(x^2+2\right)-9\)

\(=\left(x^2+5\right)\left(x^2-1\right)=\left(x^2+5\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)