F E B D C A 2 1 3 4

a) E đối xứng với D qua AB=> AD=AE và \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

F đối xứng với D qua AC=> AD=AF và \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\)

\(\Rightarrow AE=\text{AF}\left(=AD\right),\widehat{DAE}+\widehat{D\text{AF}}=2\left(\widehat{A_1}+\widehat{A_3}\right)=2.90^0=180^0\)=> E,A,F thẳng hàng.

Vậy E đối xứng với F qua A(ĐPCM)

b) Ta có: EF=2AD nên EF nhỏ nhất => AD nhỏ nhất => D là chân đường cao kẻ từ A đến BC

b) ta có: 30=2.3.5

\(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\\b^3\equiv b\left(mod3\right)\\c^5\equiv c\left(mod5\right)\end{cases}\Rightarrow b^5\equiv b^3\equiv b\left(mod3\right)}\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\)

\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)+\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)+a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)+\left(a-1\right)\left(a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)

\(mà\)\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)

\(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)

\(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)

\(a+b+c⋮6\)

\(\Leftrightarrow(a^3+b^3+c^3)⋮6\)\((đpcm)\)

a) \(3x^4-48=3\left(x^4-16\right)=3\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)=3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)\)

b) \(x^4-x^3+x^2-1=x^3.\left(x-1\right)+\left(x+1\right).\left(x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3+x+1\right)\)

c) \(4x-4y+x^2-2xy+y^2=4\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\)

\(=\left(x-y\right)\left(x-y+4\right)\)

                                                                                                ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccxccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc.

\(a^2+a=b^2+b\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-b^2-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+1\right)=0\)

Vì a, b là số dương \(\Rightarrow a+b+1>0\)

\(\Rightarrow a-b=0\)\(\Leftrightarrow a=b\)( đpcm )

Ta có: \(a^2+a=b^2+b\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-b^2-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+1\right)=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\end{cases}}\Rightarrow a+b+1>0\)

\(\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\)

Check lại hộ đề tí ra số nó lớn quá á ;-;''

đúng mà ==??

( x² + x )² - 14( x² + x ) + 24 (1)

Đặt t = x² + x 

(1) <=> t² - 14t + 24

        = t² - 2t - 12t + 24

        = t( t - 2 ) - 12( t - 2 )

        = ( t - 2 )( t - 12 )

        = ( x² + x - 2 )( x² + x - 12 )

        = ( x² - x + 2x - 2 )( x² - 3x + 4x - 12 )

        = [ x( x - 1 ) + 2( x - 1 ) ][ x( x - 3 ) + 4( x - 3 ) ]

        = ( x - 1 )( x + 2 )( x - 3 )( x + 4 )

x³ - x + 3x²y + 3xy² + y³ - y ( sửa -x³ -> x³ )

= ( x³ + 3x²y + 3xy² + y³ ) - ( x + y )

= ( x + y )³ - ( x + y )

= ( x + y )[ ( x + y )² - 1 ]

= ( x + y )( x + y - 1 )( x + y + 1 )

cc

cc

cc

cc

cc

cc

Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow1+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{1}{4}\)

Thay vào ta được:

\(A=a^4+b^4+c^4\)

\(A=\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(A=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Từ \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

Vì \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow1+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\left(\frac{-1}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a^2bc+b^2ac+c^2ab\right)=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

Vì \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{1}{4}\)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=1\)

Vì \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2.\frac{1}{4}=1\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+\frac{1}{2}=1\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\)

hay \(A=a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\)