Cho nửa \(\left(O\right)\), đường kính \(AB=2R\) và dây \(AC=R\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\). Qua \(B\) vẽ tiếp tuyến \(Bx\) với \(\left(O\right)\), tiếp tuyến này cắt tia \(OK\) tại \(D\).
\(a\)) Chứng minh \(DC\) là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\).
\(b\)) Tia \(OD\) cắt \(\left(O\right)\) ở \(M\). Chứng minh \(OBMC\) là hình thoi.
\(c\)) Vẽ \(CH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) và gọi \(I\) là trung điểm của \(CH\). Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left(O\right)\) cắt tia \(BI\) tại \(E\). Chứng minh \(E,C,D\) thẳng hàng.

Cho đường tròn \(\left(O\right)\) và điểm \(A\) bên ngoài đường tròn, từ \(A\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Kẻ đường kính \(BC\) của đường tròn \(\left(O\right)\). \(AC\) cắt đường tròn \(\left(O\right)\) tại \(D\) (\(D\) khác \(C\)).
\(a\)) Chứng minh \(BD\) vuông góc \(AC\) và \(AB^2=AD\cdot AC\).
\(b\)) Từ \(C\) vẽ dây \(CE//OA,BE\) cắt \(OA\) tại \(H\). Chứng minh \(H\) là trung điểm \(BE\) và \(AE\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\).
\(c\)) Tia \(OA\) cắt đường tròn \(\left(O\right)\) tại \(F\). Chứng minh \(FA\cdot CH=HF\cdot CA\).

Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left(O;R\right)\), kẻ các tiếp tuyến \(AB,AC\) với đường tròn \(\left(O\right)\) ở \(E\) (\(E\) khác \(D\)). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\).
\(a\)) Chứng minh \(4\) điểm \(A,B,O,C\) cùng thuộc một đường tròn và \(AO\perp BC\) tại \(H\).
\(b\)) Chứng minh \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\).
\(c\)) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HA\). Chứng minh tam giác \(AIB\) đồng dạng với tam giác \(BHD\).

Hình bên có   

Một góc bẹt, một góc tù, năm góc vuông và hai góc nhọn